О задании

Задание 2 - это классическая задача на векторы и метод координат. Оно проверяет базовое понимание того, как фигуры и направления описываются языком чисел на координатной плоскости.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

В этом номере всего одна глобальная тема - векторы и операции с ними. Задачи могут быть представлены в трёх форматах:
1. Векторы нарисованы на клетчатой бумаге (координатной сетке).
2. Координаты векторов даны в тексте условия.
3. Даны только длины векторов и угол между ними.

Основные формулы

Чтобы решить любую задачу второго номера, достаточно знать три блока формул.

Координаты и длина вектора

Если вектор задан координатами начала $A (x_{1}; y_{1})$ и конца $B (x_{2}; y_{2}),$ то его координаты находятся вычитанием координат начала из координат конца:

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

Длина (модуль) вектора $a (x; y)$ вычисляется по теореме Пифагора:

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

Операции с векторами в координатах

При сложении или вычитании векторов их соответствующие координаты складываются или вычитаются:

a \pm b = (x_{a} \pm x_{b}; y_{a} \pm y_{b})

При умножении вектора на число $k,$ каждая его координата умножается на это число:

k \cdot a = (k \cdot x_{a}; k \cdot y_{a})

Скалярное произведение векторов

У скалярного произведения есть две равносильные формулы. Выбор зависит от того, что дано в задаче.

Через координаты (алгебраическая форма):

a \cdot b = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

Через длины и угол (геометрическая форма):

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

где $α$ - угол между векторами.

Общий алгоритм решения

Как решать задание 2

1. Проанализируй условие. Посмотри, в каком виде даны векторы: на рисунке, текстом через координаты или через длины.
2. Найди координаты (если есть рисунок). Определи координаты начала и конца каждого вектора по клеткам, а затем найди координаты самих векторов.
3. Выполни линейные операции. Если просят найти длину вектора $c = 2 a - b,$ сначала найди координаты итогового вектора $c,$ и только потом применяй формулу длины.
4. Вычисли искомое. Подставь данные в нужную формулу (скалярного произведения или длины).
5. Проверь знак. Если угол между векторами тупой, их скалярное произведение обязательно будет отрицательным. Если острый - положительным.

Примеры решения

Разберём задачи из разных подтем от простых к более комплексным.

Пример 1. Скалярное произведение по длинам и углу

Длины векторов $c$ и $d$ равны $4$ и $52,$ а угол между ними равен $13 5^{\circ} .$ Найдите скалярное произведение $c \cdot d .$

Показать решение

Поскольку нам известны длины векторов и угол между ними, используем геометрическую формулу скалярного произведения:

c \cdot d = ∣ c ∣ \cdot ∣ d ∣ \cdot cos α

Подставим известные значения:

c \cdot d = 4 \cdot 52 \cdot cos 13 5^{\circ}

Вспомним значение косинуса тупого угла. Угол $13 5^{\circ}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен:

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

Продолжим вычисления:

c \cdot d = 202 \cdot (- \frac{2}{2}) = - 20 \cdot \frac{2}{2} = - 20

Ответ: -20

Пример 2. Векторы на квадратной решетке

На координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b .$ Найдите скалярное произведение $a \cdot b .$

Показать решение

Чтобы найти скалярное произведение, нам нужны координаты векторов. Найдём их по рисунку, вычитая из координат конца координаты начала.

1. Для вектора $a :$
Начало в точке $(1; 1),$ конец в точке $(4; 5) .$
Координаты вектора $a :$ $(4 - 1; 5 - 1) = (3; 4) .$

2. Для вектора $b :$
Начало в точке $(2; 6),$ конец в точке $(7; 4) .$
Координаты вектора $b :$ $(7 - 2; 4 - 6) = (5; - 2) .$

3. Теперь применим алгебраическую формулу скалярного произведения:

a \cdot b = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

a \cdot b = 3 \cdot 5 + 4 \cdot (- 2) = 15 - 8 = 7

Ответ: 7

Пример 3. Длина суммы векторов

Даны векторы $a (3; - 2)$ и $b (2; - 10) .$ Найдите длину вектора $c = a + b .$

Показать решение

Сначала найдём координаты итогового вектора $c,$ выполнив сложение покоординатно:

x_{c} = x_{a} + x_{b} = 3 + 2 = 5

y_{c} = y_{a} + y_{b} = - 2 + (- 10) = - 12

Значит, вектор $c$ имеет координаты $(5; - 12) .$

Теперь найдём его длину по формуле:

∣ c ∣ = x_{c}^{2} + y_{c}^{2} = 5^{2} + (- 12)^{2}

∣ c ∣ = 25 + 144 = 169 = 13

Ответ: 13

Частые ошибки

Скалярное произведение - это число

Ошибка: Пытаться записать в ответ скалярного произведения координаты, например $(15; - 8)$ просто перемножив координаты X и Y отдельно.
Правильно: Слово "скаляр" означает "число". Результатом скалярного произведения всегда является одно число (сумма произведений координат).

Определение координат по рисунку

Ошибка: Вычитать координаты начала из координат конца неправильно или путать направление вектора (где стрелочка - там конец).
Правильно: Всегда строго вычитай по правилу: (Конец) минус (Начало). Для самопроверки посчитай клетки от начала к концу: на сколько клеток сдвинулись вправо/влево (это X) и вверх/вниз (это Y). Движение влево и вниз даёт минус.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 2

Ориентировочное время: 2–4 минуты.
Когда решать: Сразу после первого задания. Это одна из самых предсказуемых и простых задач экзамена.
Как быстро проверить ответ: Если ты считаешь скалярное произведение по клеткам, визуально прикинь угол между векторами на рисунке. Если он острый - ответ должен получиться с плюсом. Если тупой - с минусом.
Когда стоит пропустить: Пропускать не стоит, здесь не бывает нестандартных "ловушек". Если запутался в арифметике - отложи на 10 минут, реши пару других задач и вернись со свежим взглядом, чтобы пересчитать сложение/вычитание.