Задание 2: Векторы — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 2 - это классическая задача на векторы и метод координат. Оно проверяет базовое понимание того, как фигуры и направления описываются языком чисел на координатной плоскости.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

В этом номере всего одна глобальная тема - векторы и операции с ними. Задачи могут быть представлены в трёх форматах:
1. Векторы нарисованы на клетчатой бумаге (координатной сетке).
2. Координаты векторов даны в тексте условия.
3. Даны только длины векторов и угол между ними.

Основные формулы

Чтобы решить любую задачу второго номера, достаточно знать три блока формул.

ВАЖНОЕ

Координаты и длина вектора

Если вектор задан координатами начала $A (x_{1}; y_{1})$ и конца $B (x_{2}; y_{2}),$ то его координаты находятся вычитанием координат начала из координат конца:

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

Длина (модуль) вектора $a (x; y)$ вычисляется по теореме Пифагора:

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

ВАЖНОЕ

Операции с векторами в координатах

При сложении или вычитании векторов их соответствующие координаты складываются или вычитаются:

a \pm b = (x_{a} \pm x_{b}; y_{a} \pm y_{b})

При умножении вектора на число $k,$ каждая его координата умножается на это число:

k \cdot a = (k \cdot x_{a}; k \cdot y_{a})

ВАЖНОЕ

Скалярное произведение векторов

У скалярного произведения есть две равносильные формулы. Выбор зависит от того, что дано в задаче.

Через координаты (алгебраическая форма):

a \cdot b = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

Через длины и угол (геометрическая форма):

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

где $α$ - угол между векторами.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 2

1. Проанализируй условие. Посмотри, в каком виде даны векторы: на рисунке, текстом через координаты или через длины.
2. Найди координаты (если есть рисунок). Определи координаты начала и конца каждого вектора по клеткам, а затем найди координаты самих векторов.
3. Выполни линейные операции. Если просят найти длину вектора $c = 2 a - b,$ сначала найди координаты итогового вектора $c,$ и только потом применяй формулу длины.
4. Вычисли искомое. Подставь данные в нужную формулу (скалярного произведения или длины).
5. Проверь знак. Если угол между векторами тупой, их скалярное произведение обязательно будет отрицательным. Если острый - положительным.

Примеры решения

Разберём задачи из разных подтем от простых к более комплексным.

ПРИМЕР 1

Скалярное произведение по длинам и углу

Длины векторов $c$ и $d$ равны $4$ и $52,$ а угол между ними равен $13 5^{\circ} .$ Найдите скалярное произведение $c \cdot d .$

ПРИМЕР 2

Векторы на квадратной решётке

На координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b .$ Найдите скалярное произведение $a \cdot b .$

ПРИМЕР 3

Длина суммы векторов

Даны векторы $a (3; - 2)$ и $b (2; - 10) .$ Найдите длину вектора $c = a + b .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Скалярное произведение - это число

Ошибка: Пытаться записать в ответ скалярного произведения координаты, например $(15; - 8),$ просто перемножив координаты X и Y отдельно.
Правильно: Слово "скаляр" означает "число". Результатом скалярного произведения всегда является одно число (сумма произведений координат).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Определение координат по рисунку

Ошибка: Вычитать координаты начала из координат конца неправильно или путать направление вектора (где стрелочка - там конец).
Правильно: Всегда строго вычитай по правилу: (Конец) минус (Начало). Для самопроверки посчитай клетки от начала к концу: на сколько клеток сдвинулись вправо/влево (это X) и вверх/вниз (это Y). Движение влево и вниз даёт минус.

Две пары векторов с общим началом на клетчатой сетке

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 2

Ориентировочное время: 2-4 минуты.
Когда решать: Сразу после первого задания. Это одна из самых предсказуемых и простых задач экзамена.
Как быстро проверить ответ: Если ты считаешь скалярное произведение по клеткам, визуально прикинь угол между векторами на рисунке. Если он острый - ответ должен получиться с плюсом. Если тупой - с минусом.
Когда стоит пропустить: Пропускать не стоит, здесь не бывает нестандартных "ловушек". Если запутался в арифметике - отложи на 10 минут, реши пару других задач и вернись со свежим взглядом, чтобы пересчитать сложение/вычитание.

Проверь себя0 из 4

1.Вектор

A B

задан точками

A (2; 3)

B (5; - 1) .

Каковы его координаты?

2.Чему равна длина вектора

a (6; - 8) ?

3.Даны векторы

a (2; 1)

b (- 3; 4) .

Чему равно

a \cdot b ?

4.Угол между векторами тупой. Каким будет их скалярное произведение?