О задании
Задание 2 - это классическая задача на векторы и метод координат. Оно проверяет базовое понимание того, как фигуры и направления описываются языком чисел на координатной плоскости.
- Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
- Уровень сложности: Базовый.
- Максимальный балл: 1 первичный балл.
Какие темы встречаются
В этом номере всего одна глобальная тема - векторы и операции с ними. Задачи могут быть представлены в трёх форматах:
1. Векторы нарисованы на клетчатой бумаге (координатной сетке).
2. Координаты векторов даны в тексте условия.
3. Даны только длины векторов и угол между ними.
Основные формулы
Чтобы решить любую задачу второго номера, достаточно знать три блока формул.
Если вектор задан координатами начала A(x1;y1) и конца B(x2;y2), то его координаты находятся вычитанием координат начала из координат конца:
AB=(x2−x1;y2−y1)Длина (модуль) вектора a(x;y) вычисляется по теореме Пифагора:
∣a∣=x2+y2При сложении или вычитании векторов их соответствующие координаты складываются или вычитаются:
a±b=(xa±xb;ya±yb)При умножении вектора на число k, каждая его координата умножается на это число:
k⋅a=(k⋅xa;k⋅ya)
У скалярного произведения есть две равносильные формулы. Выбор зависит от того, что дано в задаче.
Через координаты (алгебраическая форма):
a⋅b=xa⋅xb+ya⋅ybЧерез длины и угол (геометрическая форма):
a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cosαгде α - угол между векторами.
Общий алгоритм решения
1. Проанализируй условие. Посмотри, в каком виде даны векторы: на рисунке, текстом через координаты или через длины.
2. Найди координаты (если есть рисунок). Определи координаты начала и конца каждого вектора по клеткам, а затем найди координаты самих векторов.
3. Выполни линейные операции. Если просят найти длину вектора c=2a−b, сначала найди координаты итогового вектора c, и только потом применяй формулу длины.
4. Вычисли искомое. Подставь данные в нужную формулу (скалярного произведения или длины).
5. Проверь знак. Если угол между векторами тупой, их скалярное произведение обязательно будет отрицательным. Если острый - положительным.
Примеры решения
Разберём задачи из разных подтем от простых к более комплексным.
Длины векторов c и d равны 4 и 52, а угол между ними равен 135∘. Найдите скалярное произведение c⋅d.
Показать решение
Поскольку нам известны длины векторов и угол между ними, используем геометрическую формулу скалярного произведения:
c⋅d=∣c∣⋅∣d∣⋅cosαПодставим известные значения:
c⋅d=4⋅52⋅cos135∘Вспомним значение косинуса тупого угла. Угол 135∘ находится во второй четверти, где косинус отрицателен:
cos135∘=−22Продолжим вычисления:
c⋅d=202⋅(−22)=−20⋅22=−20Ответ: -20
На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a⋅b.
Показать решение
Чтобы найти скалярное произведение, нам нужны координаты векторов. Найдём их по рисунку, вычитая из координат конца координаты начала.
1. Для вектора a:
Начало в точке (1;1), конец в точке (4;5).
Координаты вектора a: (4−1;5−1)=(3;4).
2. Для вектора b:
Начало в точке (2;6), конец в точке (7;4).
Координаты вектора b: (7−2;4−6)=(5;−2).
3. Теперь применим алгебраическую формулу скалярного произведения:
a⋅b=xa⋅xb+ya⋅yba⋅b=3⋅5+4⋅(−2)=15−8=7Ответ: 7
Даны векторы a(3;−2) и b(2;−10). Найдите длину вектора c=a+b.
Показать решение
Сначала найдём координаты итогового вектора c, выполнив сложение покоординатно:
xc=xa+xb=3+2=5yc=ya+yb=−2+(−10)=−12Значит, вектор c имеет координаты (5;−12).
Теперь найдём его длину по формуле:
∣c∣=xc2+yc2=52+(−12)2∣c∣=25+144=169=13Ответ: 13
Частые ошибки
Ошибка: Пытаться записать в ответ скалярного произведения координаты, например (15;−8) просто перемножив координаты X и Y отдельно.
Правильно: Слово "скаляр" означает "число". Результатом скалярного произведения всегда является одно число (сумма произведений координат).
Ошибка: Вычитать координаты начала из координат конца неправильно или путать направление вектора (где стрелочка - там конец).
Правильно: Всегда строго вычитай по правилу: (Конец) минус (Начало). Для самопроверки посчитай клетки от начала к концу: на сколько клеток сдвинулись вправо/влево (это X) и вверх/вниз (это Y). Движение влево и вниз даёт минус.
Стратегия на экзамене
- Ориентировочное время: 2–4 минуты.
- Когда решать: Сразу после первого задания. Это одна из самых предсказуемых и простых задач экзамена.
- Как быстро проверить ответ: Если ты считаешь скалярное произведение по клеткам, визуально прикинь угол между векторами на рисунке. Если он острый - ответ должен получиться с плюсом. Если тупой - с минусом.
- Когда стоит пропустить: Пропускать не стоит, здесь не бывает нестандартных "ловушек". Если запутался в арифметике - отложи на 10 минут, реши пару других задач и вернись со свежим взглядом, чтобы пересчитать сложение/вычитание.