Задачи на оптимальный выбор — ЕГЭ профиль

Задачи на оптимальный выбор (Финансовая математика)

Задание 16 КИМ-2026 чаще всего ассоциируется с кредитами, но примерно каждая десятая задача - на оптимальный выбор. Здесь нет аннуитетных схем и таблиц платежей, зато нужно найти наилучшую стратегию: когда выгоднее продать актив или при каком объёме производства завод окупится быстрее. В КИМ-2027 такого номера нет, но тема осталась в программе и разошлась надвое: проценты, вклады и кредиты перешли в первую часть кратким заданием 13, а развёрнутый формат с исследованием модели - в задание 17. Ни один из них не повторяет прежний номер один в один, поэтому конспект оставлен как архивный: он сложнее нынешних требований и хорошо ставит технику. Все номера в тексте ниже даны по КИМ-2026.

Тема делится на два сюжета:

1. Непрерывная оптимизация (заводы и производство): прибыль - квадратичная функция, максимум ищется через вершину параболы.
2. Дискретная оптимизация (пенсионные фонды и ценные бумаги): параметр - целое число лет, оптимум находится сравнением соседних значений.

Основные математические модели

ВАЖНОЕ

Функция прибыли предприятия

Прибыль $Π (x)$ от продажи $x$ единиц продукции равна разности между выручкой и затратами на производство:

Π (x) = p \cdot x - C (x)

где $p$ - цена за единицу продукции, а $C (x)$ - функция затрат (обычно квадратичная).

Если затраты описываются квадратичной функцией $C (x) = a x^{2} + b x + c,$ то функция прибыли $Π (x) = A x^{2} + B x + C$ примет вид параболы ветвями вниз ( $A < 0$ ). Её максимум достигается в вершине.

ВАЖНОЕ

Вершина параболы

Для квадратичной функции $f (x) = A x^{2} + B x + C$ абсцисса вершины равна:

x_{0} = - \frac{B}{2 A}

При $A < 0$ это точка максимума, при $A > 0$ - точка минимума. То же значение получится, если приравнять к нулю производную: $f^{'} (x) = 2 A x + B = 0 .$

Меняй a, b, c: при a < 0 вершина задаёт максимум прибыли; при a > 0 — минимум

ВАЖНОЕ

Условие максимума для дискретной функции

Если функция $f (n)$ задана только для целых чисел (например, лет), её наибольшее значение достигается в такой точке $n,$ для которой выполняются два условия:

{f (n) > f (n - 1) f (n) > f (n + 1)

То есть значение в выбранный год должно быть больше, чем в предыдущий, и больше, чем в следующий.

Точечный график дискретной функции f(n) для целых n от 1 до

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм для задач на оптимальный выбор

1. Определи целевую функцию. Внимательно прочитай, что именно нужно максимизировать: прибыль за один год, общую прибыль за несколько лет или итоговую сумму на банковском счёте.
2. Составь математическую модель. Запиши выражение целевой функции. Введи переменные (например, $t$ - год продажи, $x$ - объём продукции).
3. Найди максимум.

Для заводов: найди вершину параболы $x_{v} = - \frac{B}{2 A} .$ Подставь её обратно в функцию, чтобы найти максимальную прибыль за год.
Для ценных бумаг: составь неравенство $S (t) > S (t + 1),$ чтобы узнать, в какой момент держать деньги в бумагах становится менее выгодно, чем в банке.
4. Учти дополнительные условия. Если в задаче сказано про "окупаемость за $N$ лет", умножь максимальную годовую прибыль на $N$ и составь неравенство $Π_{t o t a l} ⩾ Инвестиции .$
5. Проверь целочисленность. Убедись, что искомый год $t$ - целое число.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Завод и квадратичная функция затрат

Строительство нового завода стоит $75$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0, 5 x^{2} + 4 x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $p x - (0, 5 x^{2} + 4 x + 7) .$

Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем целом значении $p$ строительство завода окупится не более чем за 3 года?

ПРИМЕР 2

Ценные бумаги и поиск года

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^{2}$ тыс. рублей в конце года $t$ ( $t = 1; 2; \dots$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на $20% .$

В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

ПРИМЕР 3

Ценные бумаги и поиск процента

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^{2}$ тыс. рублей в конце года $t .$ В конце любого года фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз.

Фонд хочет продать бумаги в конце такого года, чтобы в конце пятнадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого бумаги нужно продавать строго в конце восьмого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между прибылью и выручкой

Ошибка: В задачах про завод максимизировать только выручку $p \cdot x$ или пытаться окупить завод только за счёт неё.
Правильно: Окупаемость считается из чистой прибыли $Π (x) = p \cdot x - C (x) .$ Нужно вычесть функцию затрат из выручки, и только потом искать вершину параболы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Попытка взять производную от номера года

Ошибка: Взять функцию $S (t) = t^{2} \cdot (1 + r)^{20 - t},$ посчитать её производную по правилу умножения и приравнять к нулю.
Правильно: Переменная $t$ (год) - дискретная, она принимает только целые значения $1, 2, 3 \dots$ Понятие касательной и производной здесь физически не имеет смысла. Максимум ищется только решением системы $S (t) > S (t + 1)$ и $S (t) > S (t - 1) .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задачи 16 (оптимизация)

Время выполнения: 15-25 минут.
Очерёдность: Решай после неравенства (15) и уравнений (13). Если видишь задачу на оптимизацию - радуйся. Вычисления в них обычно проще и короче, чем длинные таблицы аннуитетных или дифференцированных платежей.
Балл за модель: Если застрял с вычислениями, обязательно выпиши целевую функцию (для завода - уравнение параболы, для фонда - выражение $S (t)$ ). Это математическая модель, за правильное составление которой дают 1 балл из 2.
Хитрость: В задачах про пенсионный фонд год окончания (например, 20-й или 25-й) всегда сокращается при решении неравенства. Можешь мысленно проверить себя: если $N$ не сократилось, ты неправильно записал степени.

За что дают баллы

В задаче 16 можно получить от 0 до 2 баллов:

2 балла (Максимум): Обоснованно получен верный ответ. Составлена правильная математическая модель, все неравенства решены корректно, сделан правильный вывод о точке максимума.
1 балл: Верно построена математическая модель (выписана правильная функция прибыли или составлена верная система неравенств $S (t) > S (t + 1)$ ), но решение не завершено или в нём допущена одна вычислительная ошибка, которая не искажает логику задачи.
0 баллов: Модель не построена или содержит принципиальные логические ошибки (например, не вычтены затраты, неверно записаны сложные проценты).

Проверь себя0 из 4

1.У квадратичной функции прибыли

Π (x) = - 0, 5 x^{2} + 6 x - 7

максимум достигается при каком

x ?

2.Почему в задачах про продажу ценных бумаг нельзя искать максимум

S (t)

через производную?

3.Максимум дискретной функции

S (t)

достигается в году

t,

если выполняется система:

4.Фонд продаёт бумаги стоимостью

t^{2}

в конце года

t

и кладёт деньги под

20%

годовых до конца

20

-го года. Итоговая сумма равна: