Вклады — ЕГЭ профиль

Вклады (Задание 16)

Вклады - редкая тема 16-го задания КИМ-2026 (примерно 1 задача на 50 кредитных), но математически они устроены как кредит наоборот: банк должен тебе, а не ты банку. Сумма на счёте не убывает, а растёт - за счёт начисления процентов и твоих пополнений. В КИМ-2027 такого номера нет, но тема осталась в программе и разошлась надвое: проценты, вклады и кредиты перешли в первую часть кратким заданием 13, а развёрнутый формат с исследованием модели - в задание 17. Ни один из них не повторяет прежний номер один в один, поэтому конспект оставлен как архивный: он сложнее нынешних требований и хорошо ставит технику. Все номера в тексте ниже даны по КИМ-2026.

Суть темы

Вклад - это чередующиеся шаги:

1. На счёте лежит сумма.
2. Банк начисляет процент (сумма увеличивается).
3. Вкладчик кладёт деньги на счёт (если это предусмотрено условием).
4. Шаги повторяются каждый год (реже - каждый месяц).

Задача: прочитать условие, зафиксировать порядок операций и шаг за шагом выписать, как меняется сумма. Дальше получаешь уравнение или неравенство - и решаешь его.

Горизонтальная временная ось на 3 года с делениями «год 1»,

Основные формулы

Сразу переводи процент в коэффициент - с ним удобнее считать.

ВАЖНОЕ

Повышающий коэффициент

Если сумма увеличивается на $r$ процентов, она умножается на

k = 1 + \frac{r}{100}

Например, при $r = 10%$ коэффициент $k = 1, 1 .$

ВАЖНОЕ

Сложные проценты (без пополнений)

Если сумма $S_{0}$ лежит $n$ лет под $r %$ годовых и пополнений нет, итоговая сумма:

S_{n} = S_{0} \cdot k^{n}, k = 1 + \frac{r}{100}

На ЕГЭ всегда работают сложные проценты: новый процент считается от текущей (уже увеличенной) суммы, а не от первоначального вклада.

iЗАМЕЧАНИЕ

Простые и сложные проценты

При простых процентах банк каждый год прибавляет $r %$ от первоначальной суммы: $S_{n} = S_{0} (1 + \frac{r n}{100}) .$ При сложных - от текущей: $S_{n} = S_{0} \cdot k^{n} .$ Простую схему встречаешь разве что как ловушку в условии.

Если каждый год вкладчик докладывает одну и ту же сумму $V,$ итоговую сумму можно посчитать по замкнутой формуле. Она опирается на сумму геометрической прогрессии.

ВАЖНОЕ

Вклад с одинаковыми пополнениями

Начальная сумма $S_{0},$ каждый год ставка $r %,$ в начале каждого года (включая первый) вносится одна и та же сумма $V .$ Через $n$ лет на счёте:

S_{n} = S_{0} \cdot k^{n} + V \cdot k \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}

Множитель $V \cdot k \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}$ - это сумма геометрической прогрессии $V k + V k^{2} + \dots + V k^{n} :$ каждое пополнение $V$ пролежит на счёте разное число лет и вырастет в свой $k^{i} .$

Замкнутую формулу зубрить не обязательно: если пополнения разные (скажем, только в 3-й и 4-й год), проще идти по рекуррентной связи

S_{i + 1} = S_{i} \cdot k + V_{i},

где $V_{i}$ - пополнение перед $i$ -м начислением ( $V_{i} = 0,$ если в $i$ -й год пополнения нет).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на вклады

1. Разбери хронологию. В каком порядке идут события: сначала начисление процентов или сначала пополнение? В разные годы пополнения могут быть разными или отсутствовать.
2. Введи переменные. Обозначь неизвестное за $S,$ переведи проценты в коэффициент $k .$
3. Построй таблицу. Выпиши состояние счёта по годам - столбцы «начало года», «после пополнения», «после начисления».
4. Составь модель. Запиши итоговое уравнение или неравенство. Если в условии «наименьший первоначальный вклад, при котором сумма превысит...», ставь знак $>$ или $⩾$ в зависимости от формулировки («больше» или «не меньше»).
5. Реши модель. Вычисли. Если получается нецелое значение - найди ближайшее целое в нужную сторону.

Таблица изменения суммы на вкладе по годам

Примеры

Сначала - чистая механика сложных процентов без пополнений.

ПРИМЕР 1

Вклад без пополнений

Условие:
Вклад открывается на $3$ года. Первоначальный вклад - целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает сумму на счёте на $10% .$ Найди наименьший первоначальный вклад, при котором через $3$ года сумма составит не менее $15$ млн рублей.

Теперь задача в стиле реальных вариантов ЕГЭ - с пополнениями в отдельные годы и сменой порядка операций внутри года.

ПРИМЕР 2

Пополнения в отдельные годы

Условие:
Вклад открывается на $3$ года под $10%$ годовых. Банк начисляет проценты в конце каждого года. В начале $2$ -го и $3$ -го годов вкладчик пополняет счёт на $1$ млн рублей. Первоначальный вклад - целое число миллионов рублей. Найди наименьший первоначальный вклад, при котором через $3$ года сумма на счёте составит не менее $10$ млн рублей.

Третья задача - с одинаковыми ежегодными пополнениями. Здесь работает замкнутая формула через сумму геометрической прогрессии.

ПРИМЕР 3

Одинаковые пополнения и геометрическая прогрессия

Условие:
Вклад открывается на $3$ года под $20%$ годовых (начисление в конце года). В начале каждого года, включая первый, вкладчик вносит по $1$ млн рублей. Первоначальный вклад $S_{0}$ - целое число миллионов рублей (вносится до начисления за $1$ -й год). Найди наименьший $S_{0},$ при котором через $3$ года сумма на счёте будет не менее $10$ млн рублей.

Схема роста пополнений по геометрической прогрессии

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в порядке операций

Ошибка. Умножить всю сумму на коэффициент без учёта того, когда именно было пополнение. Например, записать третий год как $(1, 21 S \cdot 1, 1) + 1,$ хотя пополнение идёт до начисления.
Правильно. Следуй тексту дословно. Если сказано «в начале года пополняется, в конце - начисляется $10%$ », сначала прибавь $V,$ потом всю получившуюся сумму в скобках умножь на $k :$ $(S_{начало} + V) \cdot k .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Уравнение вместо неравенства

Ошибка. Решать задачу через уравнение $S \cdot k^{n} = M,$ когда в условии сказано «найти наименьший вклад, при котором сумма будет больше $M$ ». Такое решение даёт дробный ответ и эксперт снимает баллы за ошибку в модели.
Правильно. Пиши знак неравенства ( $>$ для «строго больше», $⩾$ для «не меньше»), решай неравенство, затем выбирай наименьшее целое, удовлетворяющее условию.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибка в сумме геометрической прогрессии

Ошибка. При одинаковых пополнениях записать $S_{n} = S_{0} \cdot k^{n} + V \cdot n$ или $S_{n} = S_{0} \cdot k^{n} + V \cdot k^{n} .$ Первое - забыли, что каждое пополнение само растёт по процентам; второе - что пополнения внесены в разные годы и пролежали на счёте разное время.
Правильно. Каждое пополнение умножается на свою степень $k :$ пополнение $i$ -го года внесено перед $(n - i + 1)$ начислениями. В сумме получается геометрическая прогрессия $V (k + k^{2} + \dots + k^{n}) .$

Что запомнить

Вклад - это кредит наоборот. Платежи прибавляются, а не вычитаются.
Таблица «год / начало / пополнение / после начисления / конец» надёжнее замкнутой формулы - особенно при разных или нерегулярных пополнениях.
«В начале каждого года» и «в начале $2$ -го и $3$ -го годов» - разные условия с разным ответом. Читай дословно.
Дробь в финальном неравенстве редко делится нацело. Прикидкой $k \cdot N$ найди целую часть, затем возьми ближайшее целое в нужную сторону.
При одинаковых пополнениях сумма $k + k^{2} + \dots + k^{n} = k \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}$ - это геометрическая прогрессия, а не арифметическая.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: $15$ - $25$ минут.
Слово «вклад» в $16$ -м - хорошая новость. Задачи короче кредитных с дифференцированными платежами: меньше перекладываний и громоздких сумм.
Берись за $16$ -е после того, как закрыт джентльменский набор ( $13$ и $15$ ).
Вычисления вида $1, 1^{4} = 1, 4641$ или $1, 2^{3} = 1, 728$ проверяй столбиком дважды: одна ошибка в $k^{n}$ - и вся модель уйдёт не туда.
Одинаковые пополнения каждый год - замкнутая формула с геометрической прогрессией. Разные или нерегулярные - иди по таблице.

За что дают баллы

Максимум за задание $16$ - $2$ балла.

$2$ балла - верная модель, вычисления без ошибок, правильный ответ. «Обоснованно» значит: эксперту видно, откуда взялось итоговое уравнение или неравенство (помогает таблица или пояснение шагов словами).
$1$ балл - модель построена верно (учтены все пополнения и начисления, выбран правильный знак неравенства), но решение не доведено до конца или в вычислениях одна ошибка, приведшая к неверному ответу.
$0$ баллов - модель неверна (перепутан порядок операций, пропущено пополнение, вместо неравенства записано уравнение) или только ответ без решения.

Проверь себя0 из 4

1.На сколько умножается сумма на счёте при увеличении на

20% ?

2.Вклад

S_{0}

лежит

n

лет под

r %

годовых без пополнений. Итоговая сумма равна

3.В начале каждого из

n

лет вносится по

V,

ставка даёт коэффициент

k .

Во что превращаются все пополнения к концу срока?

4.В условии сказано: «сумма составит не менее

10

млн». Какой знак ставить в модели?