Векторы и операции с ними

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике полностью посвящено векторам. Это одно из самых алгоритмичных заданий первой части. В нём проверяется умение работать с векторами как геометрически (по картинке на клетчатой бумаге), так и алгебраически (через координаты).

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Задачи этого номера делятся на два основных типа: в первых координаты векторов уже даны в условии, во вторых векторы нарисованы на координатной сетке, и их координаты предстоит найти самостоятельно.

Основные формулы

Вектор - это направленный отрезок. В координатной плоскости он задаётся парой чисел: $a (x; y) .$ Эти числа показывают, на сколько клеток вектор смещается по оси X и по оси Y от своего начала к концу.

ВАЖНОЕ

Координаты вектора по двум точкам

Если известны координаты начала вектора $A (x_{1}; y_{1})$ и конца $B (x_{2}; y_{2}),$ то координаты самого вектора вычисляются как разность координат конца и начала:

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

ВАЖНОЕ

Базовые операции с векторами

При сложении и вычитании векторов их координаты складываются или вычитаются. При умножении вектора на число $k,$ каждая его координата умножается на это число:

a \pm b = (x_{a} \pm x_{b}; y_{a} \pm y_{b})

k \cdot a = (k \cdot x_{a}; k \cdot y_{a})

ВАЖНОЕ

Длина вектора

Длина (или модуль) вектора вычисляется по теореме Пифагора через его координаты:

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

Самая важная операция в задании 2 - это скалярное произведение. Слово «скалярное» означает, что результатом умножения двух векторов будет обычное число (скаляр), а не новый вектор.

ВАЖНОЕ

Скалярное произведение векторов

Вычисление через координаты (алгебраический способ):

a \cdot b = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

Вычисление через длины и угол (геометрический способ):

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

(где $α$ - угол между векторами)

Из геометрической формулы вытекает важнейшее свойство: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (так как $cos 9 0^{\circ} = 0$ ).

Как считывать координаты по рисунку

Если в задаче дан рисунок на клетчатой бумаге, первым делом нужно перевести геометрическую картинку в числа.

Чтобы найти координаты вектора по клеткам, построй мысленный прямоугольный треугольник, где вектор - это гипотенуза.
1. Посчитай, сколько клеток от начала до конца вектора по горизонтали (это координата $x$ ). Если движение идёт вправо, пиши с плюсом, если влево - с минусом.
2. Посчитай, сколько клеток от начала до конца по вертикали (это координата $y$ ). Вверх - плюс, вниз - минус.

Для векторов на картинке выше:

Вектор $a$ идёт на 3 клетки вправо и на 4 вверх. Его координаты: $a (3; 4) .$
Вектор $b$ идёт на 4 клетки вправо и на 2 вниз. Его координаты: $b (4; - 2) .$

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Решение задания 2

1. Считай данные. Если есть рисунок - определи координаты каждого вектора по клеткам. Если даны точки - найди координаты векторов, вычтя из конца начало.
2. Определи цель. Прочитай вопрос: нужно найти длину, скалярное произведение или угол?
3. Выполни линейные операции. Если просят найти длину вектора $c = a + 3 b,$ сначала найди новые координаты вектора $c,$ и только потом применяй формулу длины.
4. Вычисли итоговое значение. Подставь полученные координаты в нужную формулу (длины или скалярного произведения).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Длина линейной комбинации

Условие:
Даны векторы $a (2; 0)$ и $b (1; 4) .$ Найдите длину вектора $a + 3 b .$

Решение:
1. Сначала найдём координаты вектора $3 b .$ Для этого умножим обе координаты вектора $b$ на 3:
$3 b = (1 \cdot 3; 4 \cdot 3) = (3; 12)$

2. Теперь сложим векторы $a$ и $3 b .$ Назовём новый вектор $c :$
$c = a + 3 b = (2 + 3; 0 + 12) = (5; 12)$

3. Найдём длину вектора $c$ по формуле $∣ c ∣ = x^{2} + y^{2} :$
$∣ c ∣ = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$

Ответ: 13

ПРИМЕР 2

Скалярное произведение новых векторов

Условие:
Даны векторы $a (2; 1)$ и $b (2; - 4) .$ Найдите скалярное произведение векторов $a + b$ и $7 a - b .$

ПРИМЕР 3

Работа с геометрической формулой

Условие:
Длины векторов $a$ и $b$ равны $3$ и $7,$ а угол между ними равен $6 0^{\circ} .$ Найдите скалярное произведение $a \cdot b .$

ПРИМЕР 4

Считывание координат по рисунку

Условие:
На рисунке изображены векторы $a$ и $b .$ Найдите длину вектора $a - b .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в направлении при поиске координат

Ошибка: Искать координаты вектора вычитанием координат начала из координат конца в неправильном порядке (из начала вычесть конец). Результат получится с противоположными знаками.
Правильно: Всегда вычитай «из конца начало». Если стрелка вектора указывает на точку B, а начинается в точке A, то $A B = (X_{B} - X_{A}; Y_{B} - Y_{A}) .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки знаков при вычитании отрицательных координат

Ошибка: При вычислении $a - b,$ если координата вектора $b$ отрицательная, часто забывают поменять знак: $7 - (- 4)$ превращают в $7 - 4 = 3 .$
Правильно: Расписывай действие со скобками: $7 - (- 4) = 7 + 4 = 11 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Попытка извлечь корень из скалярного произведения

Ошибка: Перепутать формулу длины и скалярного произведения. В ответе написать $15$ вместо $15 .$
Правильно: Запомни суть операций. Длина - это корень из суммы квадратов. Скалярное произведение - это просто число, сумма попарных произведений координат. Никаких корней в формуле скалярного произведения через координаты нет.

Что запомнить

Координаты вектора - это проекции его перемещения на оси. Вправо и вверх - с плюсом, влево и вниз - с минусом.
Длина вектора всегда положительна. Это гипотенуза в прямоугольном треугольнике.
Скалярное произведение может быть положительным (угол острый), отрицательным (угол тупой) или нулём (угол прямой, векторы перпендикулярны).
В любой непонятной ситуации - сначала считай координаты векторов, а потом подставляй их в формулы.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 2

Время выполнения: 3-5 минут.
Очерёдность: Решай это задание в самом начале, сразу после первого. Это одна из самых простых задач варианта, требующая лишь знания трёх базовых формул алгебры векторов.
Проверка: Если задача с рисунком на клетках - дважды проверь знаки координат, "пройдясь" по вектору от начала до конца глазами. Если нужно найти длину, проверь, получилось ли хорошее число (корень должен извлекаться нацело). Если корень не извлекается - ищи ошибку в сложении/вычитании координат.

Проверь себя0 из 4

1.Даны точки

A (1; 2)

B (4; 6) .

Каковы координаты вектора

A B ?

2.Чему равна длина вектора

a (6; 8) ?

3.Чему равно скалярное произведение векторов

a (2; 3)

b (5; - 1) ?

4.Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю. Что это значит?