Векторы и операции с ними

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике полностью посвящено векторам. Это одно из самых алгоритмичных заданий первой части. В нём проверяется умение работать с векторами как геометрически (по картинке на клетчатой бумаге), так и алгебраически (через координаты).

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Задачи этого номера делятся на два основных типа: в первых координаты векторов уже даны в условии, во вторых векторы нарисованы на координатной сетке, и их координаты предстоит найти самостоятельно.

Основные формулы

Вектор - это направленный отрезок. В координатной плоскости он задаётся парой чисел: $a (x; y) .$ Эти числа показывают, на сколько клеток вектор смещается по оси X и по оси Y от своего начала к концу.

Координаты вектора по двум точкам

Если известны координаты начала вектора $A (x_{1}; y_{1})$ и конца $B (x_{2}; y_{2}),$ то координаты самого вектора вычисляются как разность координат конца и начала:

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

Базовые операции с векторами

При сложении и вычитании векторов их координаты складываются или вычитаются. При умножении вектора на число $k,$ каждая его координата умножается на это число:

a \pm b = (x_{a} \pm x_{b}; y_{a} \pm y_{b})

k \cdot a = (k \cdot x_{a}; k \cdot y_{a})

Длина вектора

Длина (или модуль) вектора вычисляется по теореме Пифагора через его координаты:

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}

Самая важная операция в задании 2 - это скалярное произведение. Слово «скалярное» означает, что результатом умножения двух векторов будет обычное число (скаляр), а не новый вектор.

Скалярное произведение векторов

Вычисление через координаты (алгебраический способ):

a \cdot b = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}

Вычисление через длины и угол (геометрический способ):

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

(где $α$ - угол между векторами)

Из геометрической формулы вытекает важнейшее свойство: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (так как $cos 9 0^{\circ} = 0$ ).

Как считывать координаты по рисунку

Если в задаче дан рисунок на клетчатой бумаге, первым делом нужно перевести геометрическую картинку в числа.

Чтобы найти координаты вектора по клеткам, построй мысленный прямоугольный треугольник, где вектор - это гипотенуза.
1. Посчитай, сколько клеток от начала до конца вектора по горизонтали (это координата $x$ ). Если движение идёт вправо, пиши с плюсом, если влево - с минусом.
2. Посчитай, сколько клеток от начала до конца по вертикали (это координата $y$ ). Вверх - плюс, вниз - минус.

Для векторов на картинке выше:

Вектор $a$ идёт на 3 клетки вправо и на 4 вверх. Его координаты: $a (3; 4) .$
Вектор $b$ идёт на 4 клетки вправо и на 2 вниз. Его координаты: $b (4; - 2) .$

Общий алгоритм решения

Решение задания 2

1. Считай данные. Если есть рисунок - определи координаты каждого вектора по клеткам. Если даны точки - найди координаты векторов, вычтя из конца начало.
2. Определи цель. Прочитай вопрос: нужно найти длину, скалярное произведение или угол?
3. Выполни линейные операции. Если просят найти длину вектора $c = a + 3 b,$ сначала найди новые координаты вектора $c,$ и только потом применяй формулу длины.
4. Вычисли итоговое значение. Подставь полученные координаты в нужную формулу (длины или скалярного произведения).

Примеры решения задач

Пример 1. Длина линейной комбинации

Условие:
Даны векторы $a (2; 0)$ и $b (1; 4) .$ Найдите длину вектора $a + 3 b .$

Решение:
1. Сначала найдём координаты вектора $3 b .$ Для этого умножим обе координаты вектора $b$ на 3:
$3 b = (1 \cdot 3; 4 \cdot 3) = (3; 12)$

2. Теперь сложим векторы $a$ и $3 b .$ Назовём новый вектор $c :$
$c = a + 3 b = (2 + 3; 0 + 12) = (5; 12)$

3. Найдём длину вектора $c$ по формуле $∣ c ∣ = x^{2} + y^{2} :$
$∣ c ∣ = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$

Ответ: 13

Пример 2. Скалярное произведение новых векторов

Условие:
Даны векторы $a (2; 1)$ и $b (2; - 4) .$ Найдите скалярное произведение векторов $a + b$ и $7 a - b .$

Показать решение

В этой задаче нужно найти скалярное произведение двух сложных выражений. Сначала пошагово найдём координаты каждого из них.

1. Найдём координаты вектора $c = a + b :$
$c = (2 + 2; 1 + (- 4)) = (4; - 3)$

2. Найдём координаты вектора $d = 7 a - b :$
Сначала умножим $a$ на 7: $7 a = (14; 7) .$
Теперь вычтем $b :$
$d = (14 - 2; 7 - (- 4)) = (12; 11)$

3. Теперь найдём скалярное произведение векторов $c$ и $d$ по формуле $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} :$
$c \cdot d = 4 \cdot 12 + (- 3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15$

Ответ: 15

Пример 3. Работа с геометрической формулой

Условие:
Длины векторов $a$ и $b$ равны $3$ и $7,$ а угол между ними равен $6 0^{\circ} .$ Найдите скалярное произведение $a \cdot b .$

Показать решение

Здесь нам не даны координаты, зато даны длины и угол. Используем вторую формулу скалярного произведения:

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α

Подставим известные значения:

a \cdot b = 3 \cdot 7 \cdot cos 6 0^{\circ}

Вспоминаем табличное значение: $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} = 0, 5 .$

a \cdot b = 21 \cdot 0, 5 = 10, 5

Ответ: 10,5

Пример 4. Считывание координат по рисунку

Условие:
На рисунке изображены векторы $a$ и $b .$ Найдите длину вектора $a - b .$

Показать решение

1. Считаем координаты по клеткам. Вектор $a :$ 4 вправо, 2 вверх, значит $a (4; 2) .$ Вектор $b :$ 2 вправо, 3 вниз, значит $b (2; - 3) .$

2. Найдём координаты разности:
$a - b = (4 - 2; 2 - (- 3)) = (2; 5)$

3. Найдём длину:
$∣ a - b ∣ = 2^{2} + 5^{2} = 4 + 25 = 29$

Ответ: $29$

Частые ошибки

Путаница в направлении при поиске координат

Ошибка: Искать координаты вектора вычитанием координат начала из координат конца в неправильном порядке (из начала вычесть конец). Результат получится с противоположными знаками.
Правильно: Всегда вычитай «из конца начало». Если стрелка вектора указывает на точку B, а начинается в точке A, то $A B = (X_{B} - X_{A}; Y_{B} - Y_{A}) .$

Ошибки знаков при вычитании отрицательных координат

Ошибка: При вычислении $a - b,$ если координата вектора $b$ отрицательная, часто забывают поменять знак: $7 - (- 4)$ превращают в $7 - 4 = 3 .$
Правильно: Расписывай действие со скобками: $7 - (- 4) = 7 + 4 = 11 .$

Попытка извлечь корень из скалярного произведения

Ошибка: Перепутать формулу длины и скалярного произведения. В ответе написать $15$ вместо $15 .$
Правильно: Запомни суть операций. Длина - это корень из суммы квадратов. Скалярное произведение - это просто число, сумма попарных произведений координат. Никаких корней в формуле скалярного произведения через координаты нет.

Что запомнить

Координаты вектора - это проекции его перемещения на оси. Вправо и вверх - с плюсом, влево и вниз - с минусом.
Длина вектора всегда положительна. Это гипотенуза в прямоугольном треугольнике.
Скалярное произведение может быть положительным (угол острый), отрицательным (угол тупой) или нулём (угол прямой, векторы перпендикулярны).
В любой непонятной ситуации - сначала считай координаты векторов, а потом подставляй их в формулы.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 2

Время выполнения: 3–5 минут.
Очерёдность: Решай это задание в самом начале, сразу после первого. Это одна из самых простых задач варианта, требующая лишь знания трёх базовых формул алгебры векторов.
Проверка: Если задача с рисунком на клетках - дважды проверь знаки координат, "пройдясь" по вектору от начала до конца глазами. Если нужно найти длину, проверь, получилось ли хорошее число (корень должен извлекаться нацело). Если корень не извлекается - ищи ошибку в сложении/вычитании координат.