Уравнения с параметром (Задание 18)

Задание 18 - это задача высокого уровня сложности, за которую можно получить целых 4 первичных балла. Суть задачи с параметром состоит в том, что в уравнении (или системе), помимо неизвестной переменной $x,$ присутствует буква $a .$

Параметр $a$ - это просто число, которое пока неизвестно. Твоя задача - не просто найти $x,$ а провести исследование: узнать, как ведёт себя уравнение при абсолютно всех возможных значениях $a .$

На экзамене большинство задач на позиции 18 - это именно уравнения с параметром. Чаще всего просят найти значения $a,$ при которых уравнение имеет ровно одно, ровно два решения или решения на заданном отрезке.

Основные методы и формулы

Глобально все задачи с параметром решаются двумя путями: аналитическим (через формулы и теоремы) и графическим (через построение функций на координатной плоскости).

Графический метод 1: плоскость (x; y)

Если уравнение можно привести к виду $g (x) = a,$ строй график функции $y = g (x) .$ Затем мысленно двигай горизонтальную прямую $y = a$ снизу вверх и считай, сколько раз она пересекает график $g (x) .$ Количество точек пересечения - это и есть количество корней уравнения.
Этот метод работает, когда переменные $x$ и $a$ легко разделить по разные стороны равенства.

Графический метод 2: плоскость (x; a)

Если переменные $x$ и $a$ переплетены и не разделяются (например, в уравнениях с модулями $∣ x - a^{2} ∣ + ∣ x + 1∣ = ...$ ), строй график уравнения сразу на плоскости, где по горизонтали откладывается $x,$ а по вертикали - параметр $a .$
Каждое решение уравнения - это точка $(x; a)$ на этом графике. Чтобы найти количество корней при конкретном $a,$ проведи горизонтальную прямую на высоте $a$ и посчитай точки пересечения с графиком.
Этот метод особенно мощный для уравнений с модулями и кусочно-линейных функций.

Для аналитического метода критически важно знать свойства квадратного трёхчлена. Большинство уравнений с помощью замен сводятся к квадратному.

Свойства квадратного уравнения

A x^{2} + B x + C = 0

Количество корней зависит от дискриминанта $D = B^{2} - 4 A C :$

$D > 0$ $⟹$ два различных корня
$D = 0$ $⟹$ один корень (корни совпадают)
$D < 0$ $⟹$ корней нет

Теорема Виета: $x_{1} + x_{2} = - \frac{B}{A}$ и $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{C}{A} .$

Расположение корней квадратного трёхчлена

Пусть $f (x) = A x^{2} + B x + C .$ Чтобы оба корня были больше заданного числа $p,$ должна выполняться система:

⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 A \cdot f (p) > 0 x_{v} > p

(где $x_{v} = - \frac{B}{2 A}$ - абсцисса вершины параболы)

Общий алгоритм решения

Алгоритм исследования уравнения с параметром

1. Выпиши ОДЗ. Если есть дроби, корни чётной степени или логарифмы - сразу зафиксируй ограничения на $x .$
2. Выбери метод. Если переменные легко разделить по разные стороны от знака равенства ( $g (x) = h (a)$ ) - используй графику. Если уравнение сводится к квадратному - используй аналитику (дискриминант, теорему Виета).
3. Реши базовое уравнение. Найди корни $x_{1}, x_{2}$ через параметр $a .$
4. Проверь условия совпадения. Найди значения $a,$ при которых корни совпадают ( $x_{1} = x_{2}$ ). В этих точках количество различных решений уменьшается.
5. Проверь ограничения (ОДЗ). Подставь найденные корни в ОДЗ и выясни, при каких $a$ корни становятся "посторонними" (обнуляют знаменатель или делают подкоренное выражение отрицательным).
6. Собери ответ. Нарисуй числовую прямую для $a,$ отметь все критические точки и выпиши количество решений на каждом интервале. Выбери те интервалы, которые просят в условии.

Примеры решения

Ниже разобраны два классических примера: дробно-рациональное уравнение и иррациональное уравнение с ограничением на отрезок. Оба решаются аналитически.

Пример 1. Дробно-рациональное уравнение

Условие:
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

\frac{4 x ^{2} - a ^{2}}{x ^{2} + 6 x + 9 - a ^{2}} = 0

имеет ровно два различных корня.

Показать решение

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравниваем числитель к нулю:

4 x^{2} - a^{2} = 0 ⟹ (2 x - a) (2 x + a) = 0

Отсюда получаем два возможных корня:
$x_{1} = \frac{a}{2}$ и $x_{2} = - \frac{a}{2} .$

2. Выписываем ограничения знаменателя:

x^{2} + 6 x + 9 - a^{2} \neq = 0

Заметим формулу квадрата суммы: $(x + 3)^{2} - a^{2} \neq = 0 .$
Раскладываем как разность квадратов:

(x + 3 - a) (x + 3 + a) \neq = 0

Значит, $x \neq = a - 3$ и $x \neq = - a - 3 .$ Это наше ОДЗ.

3. Условие "ровно два различных корня":
Чтобы корней было ровно два, должны выполняться два требования:
Требование А: Корни $x_{1}$ и $x_{2}$ не должны совпадать друг с другом.

\frac{a}{2} \neq = - \frac{a}{2} ⟹ a \neq = 0

Требование Б: Ни один из корней не должен попадать в запрещённые значения (иначе он станет посторонним, и корень останется только один, либо ноль).
Подставим $x_{1}$ и $x_{2}$ в запрещённые значения и найдём "плохие" $a :$
1) $\frac{a}{2} = a - 3 ⟹ \frac{a}{2} = 3 ⟹ a = 6$
2) $\frac{a}{2} = - a - 3 ⟹ \frac{3 a}{2} = - 3 ⟹ a = - 2$
3) $- \frac{a}{2} = a - 3 ⟹ \frac{3 a}{2} = 3 ⟹ a = 2$
4) $- \frac{a}{2} = - a - 3 ⟹ \frac{a}{2} = - 3 ⟹ a = - 6$

При этих четырёх значениях $a$ один из числителей обнуляет знаменатель.

4. Итог:
Нам подходят любые действительные числа, кроме $0$ (когда корни слипаются) и ${- 6; - 2; 2; 6}$ (когда один из корней выкалывается знаменателем).

Ответ: $a \in R ∖ {- 6; - 2; 0; 2; 6}$ или в виде промежутков: $(- \infty; - 6) \cup (- 6; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; + \infty) .$

Пример 2. Иррациональное уравнение на отрезке

Условие:
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

x^{2} - a^{2} = 4 x^{2} - (4 a + 2) x + 2 a

на отрезке $[0; 1]$ имеет ровно один корень.

Показать решение

Возведём обе части в квадрат. Чтобы переход был равносильным, достаточно потребовать неотрицательность одного из подкоренных выражений (выбираем то, которое проще):

{x^{2} - a^{2} = 4 x^{2} - 4 a x - 2 x + 2 a x^{2} - a^{2} ⩾ 0

1. Решаем уравнение системы:
Перенесём всё в правую часть:

3 x^{2} - 2 (2 a + 1) x + a^{2} + 2 a = 0

Найдём дискриминант, делённый на $4$ (так как коэффициент при $x$ чётный):

\frac{D}{4} = (2 a + 1)^{2} - 3 (a^{2} + 2 a) = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 3 a^{2} - 6 a = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}

Так как $D ⩾ 0$ при любых $a,$ находим корни:

x = \frac{( 2 a + 1 ) \pm ( a - 1 )}{3}

$x_{1} = \frac{3 a}{3} = a$
$x_{2} = \frac{a + 2}{3}$

2. Проверяем ОДЗ ( $x^{2} - a^{2} ⩾ 0$ ):
Для $x_{1} = a :$ $a^{2} - a^{2} = 0 ⩾ 0$ - выполняется всегда. Корень $x_{1}$ существует при любых $a .$
Для $x_{2} = \frac{a + 2}{3} :$

(\frac{a + 2}{3})^{2} - a^{2} ⩾ 0 ⟹ \frac{a ^{2} + 4 a + 4 - 9 a ^{2}}{9} ⩾ 0 ⟹ - 8 a^{2} + 4 a + 4 ⩾ 0

Разделим на $- 4$ (сменив знак неравенства):

2 a^{2} - a - 1 ⩽ 0

Корни соответствующего уравнения: $1$ и $- 1/2 .$ Значит, условие выполняется при $a \in [- \frac{1}{2}; 1] .$ Корень $x_{2}$ существует только на этом отрезке.

3. Проверяем попадание на отрезок $x \in [0; 1] :$
Условие задачи требует, чтобы корень лежал на $[0; 1] .$
Корень $x_{1} = a$ лежит на отрезке, если $a \in [0; 1] .$
Корень $x_{2} = \frac{a + 2}{3}$ лежит на отрезке, если $0 ⩽ \frac{a + 2}{3} ⩽ 1 ⟹ 0 ⩽ a + 2 ⩽ 3 ⟹ a \in [- 2; 1] .$
Но помним про ОДЗ! $x_{2}$ существует и попадает на отрезок одновременно при пересечении множеств $[- \frac{1}{2}; 1]$ и $[- 2; 1] .$ Это промежуток $[- \frac{1}{2}; 1] .$

4. Ищем количество корней на отрезке в зависимости от $a :$
Заметим, что корни могут совпадать. $x_{1} = x_{2} ⟹ a = \frac{a + 2}{3} ⟹ 3 a = a + 2 ⟹ 2 a = 2 ⟹ a = 1 .$ При $a = 1$ оба корня равны $1,$ то есть корень ровно один.

Анализируем интервалы для параметра $a :$

При $a < - 1/2 :$ $x_{1}$ не на отрезке, $x_{2}$ не существует. (0 корней)
При $a \in [- \frac{1}{2}; 0) :$ $x_{1}$ ещё не на отрезке (он отрицательный), а вот $x_{2}$ существует и лежит на отрезке. (Ровно 1 корень!)
При $a \in [0; 1) :$ $x_{1}$ лежит на отрезке. $x_{2}$ тоже лежит на отрезке. Они не равны друг другу. (2 корня)
При $a = 1 :$ $x_{1} = x_{2} = 1 .$ Корень на отрезке. (Ровно 1 корень!)
При $a > 1 :$ $x_{1} > 1,$ $x_{2}$ не существует. (0 корней)

Нам нужны те $a,$ при которых корень ровно один. Это промежуток $[- \frac{1}{2}; 0)$ и изолированная точка $a = 1 .$

Ответ: $a \in [- \frac{1}{2}; 0) \cup {1} .$

Пример 3. Графический метод (замена + подсчёт корней)

Условие:
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) = a

имеет ровно три различных корня.

Показать решение

1. Замена переменной.
Введём замену $t = x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1 .$ Так как $(x - 1)^{2} ⩾ 0,$ имеем $t ⩾ - 1 .$
Уравнение принимает вид:

t^{2} - 2 t = a, t ⩾ - 1

2. Строим график $g (t) = t^{2} - 2 t$ при $t ⩾ - 1 .$
$g (t) = (t - 1)^{2} - 1 .$ Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке $(1; - 1) .$
Левая граница: $g (- 1) = 1 + 2 = 3 .$

3. Ключевая идея: сколько значений $x$ даёт каждое значение $t ?$
Из замены $t = (x - 1)^{2} - 1$ находим $(x - 1)^{2} = t + 1 :$

Если $t > - 1 :$ два значения $x = 1 \pm t + 1 .$
Если $t = - 1 :$ одно значение $x = 1 .$

4. Считаем общее число корней по $x$ для каждого $a .$
Двигаем горизонтальную прямую $y = a$ по графику $g (t) :$

$a < - 1 :$ прямая ниже вершины, нет значений $t .$ ( $0$ корней по $x$ )
$a = - 1 :$ одно значение $t = 1 > - 1$ $⟹$ $2$ корня по $x .$
$- 1 < a < 3 :$ два значения $t,$ оба строго больше $- 1$ $⟹$ $2 + 2 = 4$ корня по $x .$
$a = 3 :$ два значения $t :$ $t_{1} = - 1$ (даёт $1$ корень) и $t_{2} = 3$ (даёт $2$ корня) $⟹$ $1 + 2 = 3$ корня по $x .$
$a > 3 :$ одно значение $t > - 1$ $⟹$ $2$ корня по $x .$

Ровно три корня получается только при $a = 3 .$

Проверим: при $t = - 1$ получаем $x = 1 .$ При $t = 3$ получаем $(x - 1)^{2} = 4,$ то есть $x = - 1$ и $x = 3 .$
Три корня: ${- 1; 1; 3} .$

Ответ: $a = 3 .$

Частые ошибки

Потеря условия совпадения корней

Ошибка: Найти два корня квадратного уравнения через дискриминант, выколоть "плохие" точки по ОДЗ и записать ответ для "ровно двух решений", забыв проверить, когда $D = 0 .$
Правильно: Всегда проверяй условие $x_{1} = x_{2} .$ Если корни слипаются в один, то уравнение имеет одно решение, а не два. Из множества "двух корней" эту точку (или точки) параметра нужно выкалывать.

ОДЗ после возведения в квадрат

Ошибка: Возвести в квадрат обе части уравнения $f (x) = g (x)$ и просто решать $f (x) = g^{2} (x),$ забыв про ограничения. Появятся посторонние корни.
Правильно: Обязательно добавляй условие $g (x) ⩾ 0 .$ Условие $f (x) ⩾ 0$ писать не обязательно, так как $f (x)$ приравнивается к квадрату, который и так неотрицателен.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 18

Время выполнения: 30-40 минут.
Очерёдность: Оставляй это задание на самый конец, вместе с 19-м (теория чисел) и 17-м (планиметрия).
План "минимум": Даже если задача кажется сложной, попробуй её преобразовать. Построй графики понятных частей уравнения, вырази $a$ через $x$ или приведи к квадратному уравнению и выпиши дискриминант. За верное сведение задачи к математической модели (например, к графическому исследованию) дают 1 балл.
Проверка: После получения итогового множества выбери по одному числу $a$ из ответа и из "выколотых" точек. Подставь их в исходное уравнение и проверь число решений. Это спасёт от глупых ошибок со скобками.

За что дают баллы

В задании 18 можно получить от 0 до 4 баллов. Оценивается продвижение и логика:

4 балла (Максимум): Обоснованно получен абсолютно правильный ответ. Логика безупречна, все критические точки найдены и проверены.
3 балла: Решение полностью верное, но ответ отличается от правильного только включением или исключением граничных точек (например, написана круглая скобка вместо квадратной из-за невнимательности к границе ОДЗ).
2 балла: Верным логическим рассуждением получен какой-то промежуток (то есть метод выбран правильно и доведён до конца), ИЛИ допущена одна вычислительная ошибка, с которой решение корректно доведено до ответа.
1 балл: Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графиков или аналитическому исследованию корней квадратного уравнения (выписаны нужные условия), но само исследование не завершено.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев выше.