Перейти к основному содержимому
  1. Математика
  2. Математика (профиль) ЕГЭ
  3. Теория
  4. Задание 1: Простейшая планиметрия
  5. Центральные и вписанные углы

Центральные и вписанные углы

Содержание
  • Суть темы
  • Основные формулы и свойства
  • Алгоритм решения
  • Примеры решения
  • Частые ошибки
  • Что запомнить
  • Стратегия на экзамене
  • Задачи

Содержание

  • Суть темы
  • Основные формулы и свойства
  • Алгоритм решения
  • Примеры решения
  • Частые ошибки
  • Что запомнить
  • Стратегия на экзамене
  • Задачи

Разобрался в теме? Закрепи на задачах

Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.

Начать решатьВсе конспектыВойти
Был ли конспект полезным?

Суть темы

В задании 1 профильного ЕГЭ проверяется знание базовой планиметрии. Тема «Центральные и вписанные углы» - один из самых частых сюжетов этого номера.

Суть темы сводится к связи между углами и дугами окружности. Если ты научишься переводить градусы углов в градусы дуг и обратно, решение любой задачи сведётся к простым арифметическим действиям (сложению, вычитанию, делению и умножению на два).

✎ЗАМЕТКА

В реальном ЕГЭ ответом в первой части всегда является целое число или конечная десятичная дробь. В задачах на углы ответ - это всегда количество градусов. Знак градуса в бланк писать не нужно.

Основные формулы и свойства

Для начала чётко разделим два главных понятия.

Центральный угол - это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны пересекают её.

Центральный и вписанный углы
Центральный и вписанный углы
Двигай ползунок t: вписанный угол ACB остаётся вдвое меньше центрального AOB.

Ключевое правило геометрии окружностей:

ВАЖНОЕ
Связь углов и дуг

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

∠AOB=AB⌢

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

∠ACB=21​AB⌢

Следствие: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ACB=21​∠AOB

Из этих определений вытекают два важнейших свойства, которые регулярно встречаются на ЕГЭ:

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Как бы ты ни двигал вершину угла по окружности (не переходя через точки дуги), его величина не изменится.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (или полуокружность), равен 90∘. Это работает и в обратную сторону: если вписанный угол прямой, то гипотенуза получившегося прямоугольного треугольника является диаметром окружности.

Свойства вписанных углов
Свойства вписанных углов

Отдельно стоит выделить свойства многоугольников, связанных с окружностью:

ВАЖНОЕ
Вписанный четырёхугольник

Если четырёхугольник вписан в окружность (все четыре вершины лежат на ней), то сумма его противоположных углов всегда равна 180∘:

∠A+∠C=180∘и∠B+∠D=180∘
✎ЗАМЕТКА
Касательная и радиус

Иногда в задачах на углы появляется касательная прямая. Помни главное правило: радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной (образует с ней угол 90∘).

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в сложной картинке, действуй системно:

АЛГОРИТМ
Алгоритм решения задач на углы и дуги

1. Найди, на что опирается угол. Проведи взглядом (или ручкой) по сторонам данного угла до пересечения с окружностью. Выдели дугу, заключённую между ними.
2. Перейди от углов к дугам. Если дан вписанный угол - умножь его на 2 и подпиши градусную меру дуги. Если дан центральный - просто перенеси его значение на дугу.
3. Найди нужную дугу. Используй тот факт, что вся окружность составляет 360∘, а диаметр делит её на две полуокружности по 180∘.
4. Вернись от дуги к искомому углу. Если нужно найти вписанный угол - раздели найденную дугу на 2.

Примеры решения

Разберём типичные задачи из банка ЕГЭ, от базовых до самых интересных.

ПРИМЕР 1
Связь вписанного и центрального углов

Условие:
Центральный угол на 34∘ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O
Окружность с центром O
✓СОВЕТ
Лайфхак для таких задач

Если в задаче сказано, что центральный угол на N∘ больше вписанного, опирающегося на ту же дугу, то вписанный угол всегда равен в точности N∘, а центральный равен 2N∘.

ПРИМЕР 2
Диаметры и дуги

Условие:
Отрезки AC и BD - диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38∘. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Два диаметра и углы
Два диаметра и углы
ПРИМЕР 3
Касательная и прямоугольный треугольник

Условие:
Угол ACO равен 53∘. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Отрезок CO пересекает окружность в точке B. Найдите градусную меру дуги AB окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная и окружность
Касательная и окружность
ПРИМЕР 4
Вписанный четырёхугольник

Условие:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 102∘, угол CAD равен 38∘. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Вписанный четырёхугольник с диагоналями
Вписанный четырёхугольник с диагоналями

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница в коэффициенте 2

Ошибка: Решая задачу, умножить центральный угол на 2, чтобы получить дугу, или разделить вписанный угол на 2.
Правильно: Вписанный угол - это всегда меньшее значение по сравнению с дугой. Чтобы найти дугу, вписанный надо умножать на 2. Центральный угол равен дуге, ничего умножать не нужно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Применение свойства вписанного четырёхугольника не к месту

Ошибка: Считать, что сумма противоположных углов равна 180∘ для любого четырёхугольника, например, для ромба или произвольной трапеции.
Правильно: Сумма противоположных углов 180∘ работает только для четырёхугольников, вокруг которых описана окружность. Если окружности на чертеже нет и в условии не сказано "вписанный", это свойство применять нельзя.

Что запомнить

  • Вписанный угол - на окружности. Равен половине дуги.
  • Центральный угол - в центре. Равен самой дуге.
  • Углы, смотрящие на одну и ту же дугу - равны.
  • Переводи все данные в дуги, находи неизвестную дугу, а потом переводи обратно в угол - это самый надежный метод решения сложных задач.
  • У вписанного четырёхугольника углы друг напротив друга дают в сумме 180∘.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ
Стратегия выполнения Задания 1
  • Время выполнения: 2-3 минуты.
  • Очерёдность: Решай в самом начале, это одна из самых простых задач варианта.
  • Главный приём: Переводи всё в дуги. Не пытайся решать через углы треугольников - запутаешься. Метод дуг работает единообразно для любой конфигурации.
  • Проверка: Если нашёл вписанный угол больше 180∘ или отрицательный - ошибка. Вписанный угол всегда от 0∘ до 180∘.
Проверь себя0 из 4
1.Вписанный угол опирается на дугу 80∘. Чему он равен?
2.Центральный угол равен 110∘. Чему равна дуга, на которую он опирается?
3.Вписанный угол опирается на диаметр. Чему он равен?
4.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠A=70∘. Чему равен ∠C?