Суть темы

В задании 1 профильного ЕГЭ проверяется знание базовой планиметрии. Тема «Центральные и вписанные углы» - один из самых частых сюжетов этого номера.

Суть темы сводится к связи между углами и дугами окружности. Если ты научишься переводить градусы углов в градусы дуг и обратно, решение любой задачи сведётся к простым арифметическим действиям (сложению, вычитанию, делению и умножению на два).

Основные формулы и свойства

Для начала чётко разделим два главных понятия.

Центральный угол - это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны пересекают её.

Ключевое правило геометрии окружностей:

Связь углов и дуг

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

∠ A O B = A B ⌢

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

∠ A C B = \frac{1}{2} A B ⌢

Следствие: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B

Из этих определений вытекают три важнейших свойства, которые регулярно встречаются на ЕГЭ:

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Как бы ты ни двигал вершину угла по окружности (не переходя через точки дуги), его величина не изменится.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (или полуокружность), равен $9 0^{\circ} .$ Это работает и в обратную сторону: если вписанный угол прямой, то гипотенуза получившегося прямоугольного треугольника является диаметром окружности.

Отдельно стоит выделить свойства многоугольников, связанных с окружностью:

Вписанный четырёхугольник

Если четырёхугольник вписан в окружность (все четыре вершины лежат на ней), то сумма его противоположных углов всегда равна $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ} и ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в сложной картинке, действуй системно:

Алгоритм решения задач на углы и дуги

1. Найди, на что опирается угол. Проведи взглядом (или ручкой) по сторонам данного угла до пересечения с окружностью. Выдели дугу, заключённую между ними.
2. Перейди от углов к дугам. Если дан вписанный угол - умножь его на $2$ и подпиши градусную меру дуги. Если дан центральный - просто перенеси его значение на дугу.
3. Найди нужную дугу. Используй тот факт, что вся окружность составляет $36 0^{\circ},$ а диаметр делит её на две полуокружности по $18 0^{\circ} .$
4. Вернись от дуги к искомому углу. Если нужно найти вписанный угол - раздели найденную дугу на $2 .$

Примеры решения

Разберём типичные задачи из банка ЕГЭ, от базовых до самых интересных.

Пример 1. Связь вписанного и центрального углов

Условие:
Центральный угол на $3 4^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Пусть величина вписанного угла равна $x .$
Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, по определению в $2$ раза больше, то есть равен $2 x .$

В условии сказано, что центральный угол на $3 4^{\circ}$ больше вписанного. Составим уравнение:

2 x - x = 3 4^{\circ}

x = 3 4^{\circ}

Нас просят найти вписанный угол, за $x$ мы обозначали именно его.

Ответ: $34$

Лайфхак для таких задач

Если в задаче сказано, что центральный угол на $N^{\circ}$ больше вписанного, опирающегося на ту же дугу, то вписанный угол всегда равен в точности $N^{\circ},$ а центральный равен $2 N^{\circ} .$

Пример 2. Диаметры и дуги

Условие:
Отрезки $A C$ и $B D$ - диаметры окружности с центром $O .$ Угол $A C B$ равен $3 8^{\circ} .$ Найдите угол $A O D .$ Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Действуем по алгоритму: переходим к дугам.
1. Угол $A C B$ - вписанный. Он опирается на дугу $A B .$ Значит, дуга $A B = 2 \cdot 3 8^{\circ} = 7 6^{\circ} .$
2. Отрезок $B D$ - диаметр. Диаметр делит окружность пополам, значит, дуга $B A D$ (полуокружность) равна $18 0^{\circ} .$
3. Дуга $B A D$ состоит из дуги $A B$ и дуги $A D .$ Найдём дугу $A D :$

A D ⌢ = 18 0^{\circ} - A B ⌢ = 18 0^{\circ} - 7 6^{\circ} = 10 4^{\circ}

4. Нас просят найти угол $A O D .$ Вершина $O$ - центр окружности. Значит, угол $A O D$ - центральный.
5. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Угол $A O D$ опирается на дугу $A D,$ значит, $∠ A O D = 10 4^{\circ} .$

Второй способ: Треугольник $B O C$ равнобедренный, так как $O B = O C = R .$ Углы при основании равны: $∠ O B C = ∠ O C B = 3 8^{\circ} .$ Сумма углов треугольника $18 0^{\circ},$ значит $∠ B O C = 18 0^{\circ} - (3 8^{\circ} + 3 8^{\circ}) = 10 4^{\circ} .$ Углы $A O D$ и $B O C$ - вертикальные, следовательно, $∠ A O D = 10 4^{\circ} .$ Выбирай тот способ, который тебе ближе!

Ответ: $104$

Пример 3. Касательная и прямоугольный треугольник

Условие:
Угол $A C O$ равен $5 3^{\circ} .$ Его сторона $C A$ касается окружности с центром в точке $O .$ Отрезок $C O$ пересекает окружность в точке $B .$ Найдите градусную меру дуги $A B$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

1. Проведём радиус $O A$ в точку касания $A .$
2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей. Значит, $∠ O A C = 9 0^{\circ} .$
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O A C .$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $9 0^{\circ} .$
4. Найдём угол $A O C :$

∠ A O C = 9 0^{\circ} - ∠ A C O = 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} = 3 7^{\circ}

5. Угол $A O C$ - центральный. Он опирается на дугу $A B .$ Следовательно, градусная мера дуги $A B$ равна величине центрального угла $A O C .$

A B ⌢ = 3 7^{\circ}

Ответ: $37$

Пример 4. Вписанный четырёхугольник

Условие:
Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A B C$ равен $10 2^{\circ},$ угол $C A D$ равен $3 8^{\circ} .$ Найдите угол $A B D .$ Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Эта задача элегантно решается через дуги. Не пытайся найти все углы треугольников, здесь это не сработает.

1. Угол $A B C$ - вписанный, равен $10 2^{\circ} .$ Проследим за его сторонами ( $B A$ и $B C$ ): он опирается на большую дугу $A D C .$
Значит, $A D C ⌢ = 2 \cdot 10 2^{\circ} = 20 4^{\circ} .$
2. Дуга $A D C$ состоит из двух кусочков: $A D ⌢$ и $D C ⌢ .$ То есть $A D C ⌢ = A D ⌢ + D C ⌢ .$
3. Посмотрим на второй известный угол: $∠ C A D = 3 8^{\circ} .$ Он вписанный и опирается на дугу $C D .$
Значит, $C D ⌢ = 2 \cdot 3 8^{\circ} = 7 6^{\circ} .$
4. Теперь мы можем найти дугу $A D :$

A D ⌢ = A D C ⌢ - C D ⌢ = 20 4^{\circ} - 7 6^{\circ} = 12 8^{\circ}

5. Нас просят найти угол $A B D .$ Проследим за его сторонами: он опирается как раз на дугу $A D!$
6. Так как угол $A B D$ вписанный, он равен половине своей дуги:

∠ A B D = \frac{12 8 ^{\circ}}{2} = 6 4^{\circ}

Ответ: $64$

Частые ошибки

Путаница в коэффициенте 2

Ошибка: Решая задачу, умножить центральный угол на 2, чтобы получить дугу, или разделить вписанный угол на 2.
Правильно: Вписанный угол - это всегда меньшее значение по сравнению с дугой. Чтобы найти дугу, вписанный надо умножать на 2. Центральный угол равен дуге, ничего умножать не нужно.

Применение свойства вписанного четырёхугольника не к месту

Ошибка: Считать, что сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ для любого четырёхугольника, например, для ромба или произвольной трапеции.
Правильно: Сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ работает только для четырёхугольников, вокруг которых описана окружность. Если окружности на чертеже нет и в условии не сказано "вписанный", это свойство применять нельзя.

Что запомнить

Вписанный угол - на окружности. Равен половине дуги.
Центральный угол - в центре. Равен самой дуге.
Углы, смотрящие на одну и ту же дугу - равны.
Переводи все данные в дуги, находи неизвестную дугу, а потом переводи обратно в угол - это самый надежный метод решения сложных задач.
У вписанного четырёхугольника углы друг напротив друга дают в сумме $18 0^{\circ} .$

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения Задания 1

Время выполнения: 2-3 минуты.
Очерёдность: Решай в самом начале, это одна из самых простых задач варианта.
Главный приём: Переводи всё в дуги. Не пытайся решать через углы треугольников - запутаешься. Метод дуг работает единообразно для любой конфигурации.
Проверка: Если нашёл вписанный угол больше $18 0^{\circ}$ или отрицательный - ошибка. Вписанный угол всегда от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ} .$