Пусть величина вписанного угла равна $x\text{.}$
Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, по определению в $2$ раза больше, то есть равен $2x\text{.}$

В условии сказано, что центральный угол на $34^{\circ }$ больше вписанного. Составим уравнение:

Нас просят найти вписанный угол, за $x$ мы обозначали именно его.

Ответ: $34$

Действуем по алгоритму: переходим к дугам.
1. Угол $ACB$ - вписанный. Он опирается на дугу $AB\text{.}$ Значит, дуга $AB=2\cdot 38^{\circ }=76^{\circ }\text{.}$
2. Отрезок $BD$ - диаметр. Диаметр делит окружность пополам, значит, дуга $BAD$ (полуокружность) равна $180^{\circ }\text{.}$
3. Дуга $BAD$ состоит из дуги $AB$ и дуги $AD\text{.}$ Найдём дугу $AD\text{:}$

4. Нас просят найти угол $AOD\text{.}$ Вершина $O$ - центр окружности. Значит, угол $AOD$ - центральный.
5. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Угол $AOD$ опирается на дугу $AD\text{,}$ значит, $\angle AOD=104^{\circ }\text{.}$

Второй способ: Треугольник $BOC$ равнобедренный, так как $OB=OC=R\text{.}$ Углы при основании равны: $\angle OBC=\angle OCB=38^{\circ }\text{.}$ Сумма углов треугольника $180^{\circ }\text{,}$ значит $\angle BOC=180^{\circ }-(38^{\circ }+38^{\circ })=104^{\circ }\text{.}$ Углы $AOD$ и $BOC$ - вертикальные, следовательно, $\angle AOD=104^{\circ }\text{.}$ Выбирай тот способ, который тебе ближе!

Ответ: $104$

1. Проведём радиус $OA$ в точку касания $A\text{.}$
2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей. Значит, $\angle OAC=90^{\circ }\text{.}$
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC\text{.}$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{.}$
4. Найдём угол $AOC\text{:}$

5. Угол $AOC$ - центральный. Он опирается на дугу $AB\text{.}$ Следовательно, градусная мера дуги $AB$ равна величине центрального угла $AOC\text{.}$

Ответ: $37$

Эта задача элегантно решается через дуги. Не пытайся найти все углы треугольников, здесь это не сработает.

1. Угол $ABC$ - вписанный, равен $102^{\circ }\text{.}$ Проследим за его сторонами ($BA$ и $BC$): он опирается на большую дугу $ADC\text{.}$
Значит, $\stackrel{⌢}{\mathrm{ADC}}=2\cdot 102^{\circ }=204^{\circ }\text{.}$
2. Дуга $ADC$ состоит из двух кусочков: $\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}$ и $\stackrel{⌢}{\mathrm{DC}}\text{.}$ То есть $\stackrel{⌢}{\mathrm{ADC}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{DC}}\text{.}$
3. Посмотрим на второй известный угол: $\angle CAD=38^{\circ }\text{.}$ Он вписанный и опирается на дугу $CD\text{.}$
Значит, $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}=2\cdot 38^{\circ }=76^{\circ }\text{.}$
4. Теперь мы можем найти дугу $AD\text{:}$

5. Нас просят найти угол $ABD\text{.}$ Проследим за его сторонами: он опирается как раз на дугу $AD\text{!}$
6. Так как угол $ABD$ вписанный, он равен половине своей дуги:

Ответ: $64$