Шар и сфера

В задании 3 (простейшая стереометрия) задачи на шар встречаются не так часто, как на призму или пирамиду, но они требуют чёткого знания формул. В отличие от многогранников, у шара нет граней и рёбер, всё зависит только от одного параметра - радиуса $R .$

Сфера - это оболочка (как мыльный пузырь или оболочка баскетбольного мяча). Мы можем вычислить её площадь.
Шар - это сплошное тело (как арбуз или бильярдный шар). Мы можем вычислить его объём.

Основные формулы

Все вычисления сводятся к двум главным формулам. В них всегда присутствует число $π,$ но в заданиях первой части оно обычно либо сокращается в процессе решения, либо в условии просят записать ответ в виде $\frac{V}{π} .$

Объём шара

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Площадь поверхности шара (сферы)

S = 4 π R^{2}

Сечение шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью - это круг.
Самый большой круг получается, если плоскость проходит ровно через центр шара. Он так и называется - большой круг.
Площадь большого круга вычисляется по стандартной формуле площади круга: $S_{сеч} = π R^{2} .$

Шар, вписанный в цилиндр

Это самая популярная конструкция в задачах на шар. Если шар вписан в цилиндр, он касается его оснований и боковой поверхности.

Из этого геометрического факта вытекают жёсткие связи:
1. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: $r_{цил} = R .$
2. Высота цилиндра равна диаметру шара: $h_{цил} = 2 R .$

Если расписать объём цилиндра через радиус шара, получится:

V_{цил} = S_{осн} \cdot h = (π R^{2}) \cdot (2 R) = 2 π R^{3}

Сравним это с объёмом шара ( $V_{шара} = \frac{4}{3} π R^{3}$ ):

\frac{V _{цил}}{V _{шара}} = \frac{2 π R ^{3}}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{6}{4} = 1, 5

Объём цилиндра, описанного около шара, всегда ровно в $1, 5$ раза больше объёма этого шара. То же самое правило работает и для площадей их поверхностей.

Алгоритм решения

Алгоритм решения задач на шар

1. Прочитай условие и выпиши дано. Пойми, что именно известно: объём, площадь поверхности или площадь сечения.
2. Запиши базовую формулу для известной величины.
3. Вырази нужный элемент. Чаще всего не нужно вычислять сам радиус $R .$ Гораздо удобнее выразить блок целиком, например $π R^{3}$ или $π R^{2} .$
4. Подставь в формулу для искомой величины. Запиши формулу того, что нужно найти, и подставь туда найденный блок.
5. Проверь ответ. Убедись, что получилось целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

Разберём типичные экзаменационные задачи от самых простых к более нестандартным.

Пример 1. Связь площади сечения и поверхности

Условие:
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна $12 .$ Найдите площадь поверхности шара.

Показать решение

Сечение шара, проходящее через его центр - это большой круг шара.

Его площадь вычисляется по формуле:

S_{сеч} = π R^{2} = 12

Нам не нужно находить отсюда радиус $R .$ У нас уже есть готовый блок $π R^{2} = 12 .$

Формула площади поверхности шара:

S = 4 π R^{2}

Подставляем известное значение блока $π R^{2}$ в эту формулу:

S = 4 \cdot (π R^{2}) = 4 \cdot 12 = 48

Ответ: 48

Пример 2. Вписанный шар

Условие:
Шар, объём которого равен $18,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Показать решение

Способ 1 (через формулы):

Шар, вписанный в цилиндр и вся информация

Объём шара равен $18 :$

\frac{4}{3} π R^{3} = 18

Выразим отсюда блок $π R^{3} :$

π R^{3} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13, 5

Высота цилиндра, описанного около шара, равна двум радиусам ( $h = 2 R$ ), а радиус основания равен радиусу шара.
Объём цилиндра:

V_{цил} = π R^{2} \cdot h = π R^{2} \cdot 2 R = 2 π R^{3}

Подставляем найденный блок $π R^{3} :$

V_{цил} = 2 \cdot 13, 5 = 27

Способ 2 (быстрый):
Мы знаем теорему: объём цилиндра, описанного около шара, в $1, 5$ раза больше объёма этого шара.

V_{цил} = 1, 5 \cdot 18 = 27

Ответ: 27

Пример 3. Изменение объёма шара

Условие:
Шарообразный воздушный шар имеет объём $972 π см^{3} .$ Из-за охлаждения воздуха его объём уменьшился в $8$ раз. Найдите радиус шара (в сантиметрах) после охлаждения.

Показать решение

Найдём объём шара после охлаждения. Он уменьшился в $8$ раз:

V_{новое} = \frac{972 π}{8} = \frac{243 π}{2}

Запишем формулу объёма шара и приравняем:

\frac{4}{3} π R^{3} = \frac{243 π}{2}

Сократим $π$ в обеих частях и умножим обе части на $3 :$

4 R^{3} = \frac{729}{2}

Разделим на $4 :$

R^{3} = \frac{729}{8}

Извлечём кубический корень. $729 = 9^{3}$ и $8 = 2^{3},$ поэтому:

R = \frac{9}{2} = 4, 5 см

Ответ: 4,5

Частые ошибки

Путаница в коэффициентах объёма и площади

Ошибка: Вычислять площадь поверхности шара по формуле $S = \frac{4}{3} π R^{2}$ или забывать дробь в объёме, считая $V = 4 π R^{3} .$
Правильно: Чётко запомни распределение: в площади (измеряется в квадратных единицах) стоит $4$ и $R^{2} .$ В объёме (кубические единицы) появляется знаменатель $3$ и $R^{3} .$ Запомни: $V = \frac{4}{3} π R^{3},$ $S = 4 π R^{2} .$

Неправильная высота цилиндра

Ошибка: При решении задачи на шар, вписанный в цилиндр, брать высоту цилиндра равной радиусу шара ( $h = R$ ). Из-за этого объём цилиндра получается меньше объёма шара, чего быть не может.
Правильно: Шар касается и нижнего, и верхнего основания цилиндра. Значит, высота цилиндра состоит из двух радиусов: $h = 2 R .$

Что запомнить

Лайфхак для вписанного шара

Если в задаче шар вписан в цилиндр, смело умножай объём шара на $1, 5,$ чтобы получить объём цилиндра. И наоборот: дели объём цилиндра на $1, 5,$ чтобы найти объём шара. Это экономит время и страхует от вычислительных ошибок.