Шар — ЕГЭ профиль

Шар и сфера

В задании 3 (простейшая стереометрия) задачи на шар встречаются не так часто, как на призму или пирамиду, но они требуют чёткого знания формул. В отличие от многогранников, у шара нет граней и рёбер, всё зависит только от одного параметра - радиуса $R .$

Сфера - это оболочка (как мыльный пузырь или оболочка баскетбольного мяча). Мы можем вычислить её площадь.
Шар - это сплошное тело (как арбуз или бильярдный шар). Мы можем вычислить его объём.

Основные формулы

Все вычисления сводятся к двум главным формулам. В них всегда присутствует число $π,$ но в заданиях первой части оно обычно либо сокращается в процессе решения, либо в условии просят записать ответ в виде $\frac{V}{π} .$

ВАЖНОЕ

Объём шара

V = \frac{4}{3} π R^{3}

ВАЖНОЕ

Площадь поверхности шара (сферы)

S = 4 π R^{2}

iЗАМЕЧАНИЕ

Сечение шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью - это круг.
Самый большой круг получается, если плоскость проходит ровно через центр шара. Он так и называется - большой круг.
Площадь большого круга вычисляется по стандартной формуле площади круга: $S_{сеч} = π R^{2} .$

Шар, вписанный в цилиндр

Это самая популярная конструкция в задачах на шар. Если шар вписан в цилиндр, он касается его оснований и боковой поверхности.

Из этого геометрического факта вытекают жёсткие связи:

1. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: $r_{цил} = R .$
2. Высота цилиндра равна диаметру шара: $h_{цил} = 2 R .$

Если расписать объём цилиндра через радиус шара, получится:

V_{цил} = S_{осн} \cdot h = (π R^{2}) \cdot (2 R) = 2 π R^{3}

Сравним это с объёмом шара ( $V_{шара} = \frac{4}{3} π R^{3}$ ):

\frac{V _{цил}}{V _{шара}} = \frac{2 π R ^{3}}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{6}{4} = 1, 5

Объём цилиндра, описанного около шара, всегда ровно в $1, 5$ раза больше объёма этого шара. То же самое правило работает и для площадей их поверхностей.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на шар

1. Прочитай условие и выпиши дано. Пойми, что именно известно: объём, площадь поверхности или площадь сечения.
2. Запиши базовую формулу для известной величины.
3. Вырази нужный элемент. Чаще всего не нужно вычислять сам радиус $R .$ Гораздо удобнее выразить блок целиком, например $π R^{3}$ или $π R^{2} .$
4. Подставь в формулу для искомой величины. Запиши формулу того, что нужно найти, и подставь туда найденный блок.
5. Проверь ответ. Убедись, что получилось целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

Разберём типичные экзаменационные задачи от самых простых к более нестандартным.

ПРИМЕР 1

Связь площади сечения и поверхности

Условие:
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна $12 .$ Найдите площадь поверхности шара.

ПРИМЕР 2

Вписанный шар

Условие:
Шар, объём которого равен $18,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

ПРИМЕР 3

Изменение объёма шара

Условие:
Шарообразный воздушный шар имеет объём $972 π см^{3} .$ Из-за охлаждения воздуха его объём уменьшился в $8$ раз. Найдите радиус шара (в сантиметрах) после охлаждения.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в коэффициентах объёма и площади

Ошибка: Вычислять площадь поверхности шара по формуле $S = \frac{4}{3} π R^{2}$ или забывать дробь в объёме, считая $V = 4 π R^{3} .$
Правильно: Чётко запомни распределение: в площади (измеряется в квадратных единицах) стоит $4$ и $R^{2} .$ В объёме (кубические единицы) появляется знаменатель $3$ и $R^{3} .$ Запомни: $V = \frac{4}{3} π R^{3},$ $S = 4 π R^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильная высота цилиндра

Ошибка: При решении задачи на шар, вписанный в цилиндр, брать высоту цилиндра равной радиусу шара ( $h = R$ ). Из-за этого объём цилиндра получается меньше объёма шара, чего быть не может.
Правильно: Шар касается и нижнего, и верхнего основания цилиндра. Значит, высота цилиндра состоит из двух радиусов: $h = 2 R .$

Что запомнить

✓СОВЕТ

Лайфхак для вписанного шара

Если в задаче шар вписан в цилиндр, смело умножай объём шара на $1, 5,$ чтобы получить объём цилиндра. И наоборот: дели объём цилиндра на $1, 5,$ чтобы найти объём шара. Это экономит время и страхует от вычислительных ошибок.

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле вычисляется объём шара радиуса

R ?

2.Площадь большого круга шара равна

7 .

Чему равна площадь поверхности шара?

3.Шар вписан в цилиндр. Во сколько раз объём цилиндра больше объёма шара?

4.Объём шара уменьшили в

8

раз. Во сколько раз уменьшился его радиус?