Сечения пирамид (Задание 14)

Задание 14 - это стереометрическая задача, которая состоит из двух пунктов: доказательства (пункт «а») и вычисления (пункт «б»). По статистике, сечения пирамид - самая частая тема этого задания, она встречается примерно в трети всех вариантов.

В этой теме тебе предстоит строить плоскости внутри объемных фигур, доказывать их свойства (параллельность, перпендикулярность) и находить площади сечений, углы или расстояния.

Суть темы и основные методы

Сечение многогранника - это плоский многоугольник, который получается при пересечении многогранника плоскостью. Вершины этого многоугольника лежат на рёбрах многогранника, а стороны - на его гранях.

Для успешного решения нужно владеть двумя основными подходами:
1. Классический метод: использование аксиом и теорем стереометрии, метод следов, дополнительные построения.
2. Координатно-векторный метод: введение системы координат, нахождение уравнений плоскостей и координат векторов. Отлично работает в правильных пирамидах, когда сложно «увидеть» нужный угол или расстояние.

Ключевые теоремы для классического метода

Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая $a,$ не лежащая в плоскости $α,$ параллельна некоторой прямой $b,$ лежащей в плоскости $α,$ то прямая $a$ параллельна плоскости $α .$

Свойство параллельных плоскостей:
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП):
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Отношение объемов

Если плоскость отсекает от пирамиды подобную ей пирамиду (например, сечение параллельно основанию), то отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = k^{3}

Алгоритм построения сечения (Метод следов)

Если ты решаешь задачу классическим методом, тебе нужно правильно построить сечение.

Как построить сечение пирамиды

1. Соединяй точки в одной грани. Если две точки секущей плоскости лежат в одной плоскости (на одной грани пирамиды), смело проводи через них прямую. Это и будет отрезок сечения.
2. Ищи пересечения с основанием (след плоскости). Продли прямую, лежащую в секущей плоскости, до пересечения с прямой, лежащей в плоскости основания. Полученная точка принадлежит обеим плоскостям.
3. Используй параллельность. Если секущая плоскость параллельна какой-то прямой, то она будет пересекать грани, содержащие эту прямую, по прямым, параллельным ей.
4. Замыкай многоугольник. Продолжай находить точки на ребрах, пока сечение не замкнется в многоугольник (треугольник, трапецию, пятиугольник и т.д.).

Примеры решения задач

Разберем две типичные задачи из реальных вариантов ЕГЭ: на доказательство перпендикулярности и на использование параллельности при построении.

Пример 1. Правильный тетраэдр

Условие:
В правильном тетраэдре $A B C D$ точки $M$ и $N$ - середины рёбер $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $M N$ и пересекает ребро $B C$ в точке $K .$
а) Докажите, что прямая $M N$ перпендикулярна рёбрам $A B$ и $C D .$
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α,$ если известно, что $B K = 2,$ $K C = 3 .$

Показать решение

Решение пункта а:

Рассмотрим треугольник $A N B .$ Отрезки $A N$ и $B N$ - это медианы (и высоты) в равных правильных треугольниках $A D C$ и $B D C .$ Следовательно, $A N = B N,$ и треугольник $A N B$ - равнобедренный с основанием $A B .$
В этом треугольнике $N M$ является медианой (так как $M$ - середина $A B$ ). По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, $N M ⊥ A B .$
Аналогично доказывается, что в равнобедренном треугольнике $C M D$ отрезок $M N$ является медианой и высотой, откуда $M N ⊥ C D .$

Решение пункта б:

Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $M N .$ Из пункта «а» мы знаем, что прямые $A B$ и $C D$ также перпендикулярны $M N .$ Следовательно, плоскость $α$ параллельна скрещивающимся прямым $A B$ и $C D .$
Обозначим точки пересечения плоскости $α$ с рёбрами $A C,$ $A D$ и $B D$ через $L,$ $P$ и $Q$ соответственно.
Так как плоскость параллельна $A B,$ то линии пересечения плоскости с гранями $A B C$ и $A B D$ параллельны $A B .$ Значит, $K L ∥ A B$ и $P Q ∥ A B .$
Аналогично, $L P ∥ C D$ и $K Q ∥ C D .$
В результате сечение $K L P Q$ - это параллелограмм. Так как скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра перпендикулярны ( $A B ⊥ C D$ ), то и стороны параллелограмма перпендикулярны. $K L P Q$ - прямоугольник.

Треугольники $K C L$ и $K B Q$ подобны граням тетраэдра, то есть они правильные.
Из условия $B K = 2,$ $K C = 3 .$
Тогда $K L = K C = 3,$ а $Q K = B K = 2 .$
Площадь прямоугольника $K L P Q$ равна $K L \cdot Q K = 3 \cdot 2 = 6 .$

Ответ: б) $6 .$

Пример 2. Построение через параллельность и подобие

Условие:
В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ с основанием $A B C D$ точка $O$ - центр основания пирамиды, точка $M$ - середина ребра $S C,$ точка $K$ делит ребро $B C$ в отношении $B K : K C = 3 : 1,$ а $A B = 4$ и $S O = 214 .$
а) Докажите, что плоскость $O M K$ параллельна прямой $S A .$
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $O M K$ пересекает грань $S A D .$

Показать решение

Решение пункта а:

Так как пирамида правильная, $O$ - середина диагонали $A C .$ Точка $M$ - середина ребра $S C$ (по условию).
Рассмотрим треугольник $S A C .$ Отрезок $O M$ соединяет середины сторон $A C$ и $S C,$ следовательно, $O M$ - средняя линия треугольника $S A C .$
По свойству средней линии $O M ∥ S A .$
Так как прямая $O M$ лежит в плоскости $O M K,$ то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая $S A$ параллельна плоскости $O M K .$ Что и требовалось доказать.

Решение пункта б:

Нужно найти длину отрезка сечения, лежащего в грани $S A D .$
Сначала найдем след плоскости $O M K$ на плоскости основания $A B C D .$ Это прямая $O K .$
Продлим прямую $O K$ до пересечения с ребром $A D .$ Пусть это будет точка $L .$
Рассмотрим основание $A B C D$ (это квадрат). $O$ - центр квадрата. Прямая $L K$ проходит через центр квадрата, значит, треугольники $A L O$ и $C K O$ равны (по стороне и двум прилежащим углам, так как $O$ - середина диагонали, а углы накрест лежащие при параллельных прямых).
Из равенства треугольников следует, что $A L = K C .$
По условию $B K : K C = 3 : 1,$ а сторона $B C = 4 .$ Значит, $K C = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 .$ Следовательно, $A L = 1 .$

Теперь вернемся к плоскости $S A D .$ Плоскость $O M K$ пересекает грань $S A D$ по некоторой прямой. Так как плоскость $O M K$ параллельна $S A$ (из пункта «а»), линия пересечения плоскости $O M K$ и грани $S A D$ должна быть параллельна $S A .$
Обозначим эту линию как $L N,$ где $N$ лежит на ребре $S D .$ Значит, $L N ∥ S A .$
Рассмотрим треугольник $S A D .$ Так как $L N ∥ S A,$ треугольник $D L N$ подобен треугольнику $D S A .$
Сторона $A D = 4 .$ Отрезок $D L = A D - A L = 4 - 1 = 3 .$
Коэффициент подобия $k = \frac{D L}{D A} = \frac{3}{4} .$
Значит, $L N = \frac{3}{4} S A .$

Осталось найти длину бокового ребра $S A .$
В квадрате $A B C D$ диагональ $A C = A B 2 = 42 .$ Тогда $A O = 22 .$
В прямоугольном треугольнике $A S O$ по теореме Пифагора:

S A = S O^{2} + A O^{2} = (214)^{2} + (22)^{2} = 56 + 8 = 64 = 8

Подставляем найденное значение:

L N = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6

Ответ: б) $6 .$

Частые ошибки

Соединение «невидимых» точек

Ошибка: Соединять точки секущей плоскости напрямую сквозь пирамиду и считать этот отрезок стороной сечения. Например, соединить точку на ребре $S A$ с точкой на ребре $S C$ и сказать, что это граница сечения.
Правильно: Стороны сечения (многоугольника) могут лежать только на гранях многогранника. Если две точки не лежат в одной грани, соединять их для контура сечения нельзя. Ищи вспомогательные точки пересечения с плоскостями граней (метод следов).

«Очевидно из рисунка»

Ошибка: Писать «из рисунка видно, что сечение - равнобедренная трапеция» или «очевидно, что высота падает ровно на середину ребра».
Правильно: Любое геометрическое утверждение должно быть строго доказано. Трапеция равнобедренная? Докажи равенство боковых сторон или углов при основании через равенство треугольников.

Ошибка в применении теоремы о трех перпендикулярах

Ошибка: При поиске расстояния от точки до плоскости просто опустить перпендикуляр на какую-то прямую в этой плоскости и решить, что это и есть искомое расстояние.
Правильно: Расстояние - это перпендикуляр ко всей плоскости. Чтобы доказать, что отрезок перпендикулярен плоскости, нужно доказать, что он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в ней (обычно здесь как раз помогает ТТП).

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 14

Время выполнения: 20-30 минут.
Очерёдность: Не решай стереометрию в самом начале второй части. Лучше сначала сделай алгебру (уравнения 13 и неравенства 15). Стереометрия требует концентрации и времени на чертеж.
Рисунок: Сделай рисунок крупным, минимум на полстраницы. Если сечение получается «сплюснутым» и ничего не видно, не ленись перерисовать пирамиду под другим углом.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Если не получается доказать пункт «а», поверь в него и используй это утверждение для решения пункта «б». За правильный расчет ты получишь 1 балл.
Метод координат: Если пирамида правильная, а построение сечения заводит в тупик - вводи оси $X, Y, Z$ и решай задачу алгебраически. Это дольше в вычислениях, но не требует гениальных геометрических озарений.

За что дают баллы

В задании 14 можно получить максимум 3 первичных балла:

3 балла (Максимум): Ты безупречно доказал пункт «а» и получил верный, обоснованный ответ в пункте «б».
2 балла:
- Случай 1: Ты полностью и правильно решил только пункт «б» (без использования пункта «а»).
- Случай 2: Ты верно доказал пункт «а», логика пункта «б» абсолютно правильная, но допущена одна досадная арифметическая ошибка (ошибка в вычислениях, а не в формуле или геометрическом факте).
1 балл:
- Случай 1: Идеально доказан только пункт «а».
- Случай 2: Пункт «б» решен верно, но в процессе вычислений ты опирался на утверждение из пункта «а», которое не смог доказать.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев выше (например, неверный чертеж исказил суть задачи).

Что запомнить

1. Сечение строится по граням. Метод следов - твой главный инструмент классического подхода.
2. В правильных пирамидах активно используй свойства симметрии, средние линии и подобие треугольников.
3. Оформляй доказательство шагами, ссылаясь на конкретные признаки и теоремы школьной программы. Никаких «видно по чертежу».
4. Разделяй решение: застрял на доказательстве - переходи к вычислениям, предполагая, что факт доказан. Свой законный 1 балл ты заработаешь.