Показательные уравнения (Задание 6)

Задание 6 открывает блок уравнений в первой части профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет умение решать базовые уравнения: показательные, логарифмические, иррациональные и другие.

Показательные уравнения - абсолютные лидеры этого номера. На них приходится значительная часть задач в этом задании. Это отличная новость, потому что решаются они буквально в два-три простых шага и приносят самый быстрый и надёжный первичный балл.

Суть темы

Показательное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная $x$ находится в показателе степени, а основание степени является заданным числом.

Главный принцип решения таких уравнений строится на строгом математическом свойстве: если основания равны, то и показатели степеней обязаны быть равны.

Основные формулы

Чтобы успешно справляться с заданием 6, не нужно знать сложные методы. Достаточно уверенно применять базовые свойства степеней.

Главное правило показательных уравнений

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟹ f (x) = g (x)

(при условии, что $a > 0$ и $a \neq = 1$ )

Для того чтобы привести левую и правую части уравнения к одинаковому основанию $a,$ тебе потребуются следующие свойства:

Отрицательный показатель степени

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} и (\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

Степень в степени

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Умножение и деление степеней

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} и \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

Алгоритм решения

Все показательные уравнения из первой части сводятся к одному и тому же алгоритму.

Алгоритм решения простейшего показательного уравнения

1. Определи общее основание. Посмотри на левую и правую части уравнения. Найди число, степенями которого являются оба основания. Обычно это простые числа: $2, 3, 5$ или $7 .$
2. Приведи обе части к этому основанию. Замени числа их степенными эквивалентами (например, $125$ замени на $5^{3},$ а $\frac{1}{16}$ на $2^{- 4}$ ). Если нужно, раскрой скобки в показателе с помощью свойства $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} .$
3. Отбрось основания. Как только слева и справа стоят выражения вида $a^{\dots} = a^{\dots},$ приравняй показатели степеней.
4. Реши полученное уравнение. Обычно получается простейшее линейное уравнение, реже - квадратное. Найди $x .$
5. Сделай проверку. Подставь найденный $x$ в самое первое уравнение и убедись, что получается верное числовое равенство.

Примеры решения

Расположим задачи от самых простых к тем, где легко запутаться в знаках.

Пример 1. Классическое уравнение

Условие:
Найдите корень уравнения $5^{2 - x} = 125 .$

Показать решение

1. Посмотрим на правую часть. Число $125$ - это $5$ в третьей степени ( $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ ).
2. Перепишем уравнение, заменив $125$ на $5^{3} :$

5^{2 - x} = 5^{3}

3. Основания равны, значит, можно приравнять показатели:

2 - x = 3

4. Решим полученное линейное уравнение. Перенесём $2$ в правую часть:

- x = 3 - 2

- x = 1

x = - 1

5. Проверка: $5^{2 - (- 1)} = 5^{2 + 1} = 5^{3} = 125 .$ Всё верно.

Ответ: $- 1$

Пример 2. Уравнение с дробью

Условие:
Найдите корень уравнения $2^{x - 3} = \frac{1}{16} .$

Показать решение

1. В левой части стоит основание $2 .$ Значит, правую часть тоже нужно представить в виде степени двойки.
2. Вспомним, что $16 = 2^{4} .$ Тогда дробь $\frac{1}{16}$ можно записать как $\frac{1}{2 ^{4}} .$
3. Применим формулу отрицательного показателя степени $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} :$

\frac{1}{16} = 2^{- 4}

4. Перепишем исходное уравнение:

2^{x - 3} = 2^{- 4}

5. Основания одинаковые, приравниваем показатели:

x - 3 = - 4

6. Переносим $- 3$ вправо со знаком плюс:

x = - 4 + 3

x = - 1

Ответ: $- 1$

Пример 3. Уравнение с переворотом дроби

Условие:
Найдите корень уравнения $(\frac{1}{6})^{x - 2} = 6^{x} .$

Показать решение

1. Слева основание $\frac{1}{6},$ справа основание $6 .$ Удобнее всё свести к целому основанию $6 .$
2. Представим $\frac{1}{6}$ как $6^{- 1} .$
3. Запишем левую часть, используя свойство степени в степени:

(6^{- 1})^{x - 2} = 6^{- 1 \cdot (x - 2)} = 6^{- x + 2}

4. Теперь уравнение выглядит так:

6^{- x + 2} = 6^{x}

5. Отбрасываем одинаковые основания и приравниваем показатели:

- x + 2 = x

6. Собираем неизвестные с одной стороны (например, перенесём $- x$ вправо):

2 = x + x

2 x = 2

x = 1

7. Проверка: $(\frac{1}{6})^{1 - 2} = (\frac{1}{6})^{- 1} = 6^{1} = 6 .$ И справа $6^{1} = 6 .$ Равенство выполняется.

Ответ: $1$

Что запомнить

Чтобы не тратить драгоценное время на экзамене, выучи наизусть степени базовых чисел. Это мощно ускорит твои вычисления не только в 6 задании, но и в логарифмах, и в текстовых задачах.

Таблица степеней, которую нужно знать

Степени двойки: $2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, 2^{5} = 32, 2^{6} = 64, 2^{7} = 128, 2^{8} = 256, 2^{9} = 512, 2^{10} = 1024 .$
Степени тройки: $3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81, 3^{5} = 243 .$
Степени четвёрки: $4^{2} = 16, 4^{3} = 64, 4^{4} = 256 .$
Степени пятёрки: $5^{2} = 25, 5^{3} = 125, 5^{4} = 625 .$
Степени шестёрки: $6^{2} = 36, 6^{3} = 216 .$

Частые ошибки

Самое обидное в задании 6 - потерять балл из-за спешки при выполнении базовых арифметических действий.

Путаница между степенью и умножением

Ошибка: При виде уравнения $3^{x} = 27$ в голове срабатывает мысль «27 делится на 3, это 9», и записывается переход $3^{x} = 3^{9} .$
Правильно: Число $27$ - это тройка, умноженная сама на себя три раза: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} .$ Значит, $3^{x} = 3^{3} ⟹ x = 3 .$ Всегда проговаривай про себя: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить это число?».

Потеря знака минус при раскрытии скобок

Ошибка: При переходе от $(\frac{1}{2})^{x - 4} = 2^{x}$ записывать $- x - 4 = x .$ Минус перед скобкой относится ко всему выражению в показателе.
Правильно: $(2^{- 1})^{x - 4} = 2^{- 1 \cdot (x - 4)} = 2^{- x + 4} .$ Знаки внутри показателя должны поменяться на противоположные!

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 6

Время выполнения: 2-3 минуты.
Очерёдность: Решай это задание в самом начале экзамена. Это отличная возможность «разогреть» мозг простыми вычислениями и почувствовать уверенность.
Самопроверка: Обязательно подставь полученный ответ в изначальное условие. Проверка занимает 10 секунд, но гарантированно спасает от вычислительных ошибок и знаковых ляпов. Если подставил корень и левая часть не совпала с правой - перерешай.
Формат ответа: Убедись, что ответ является целым числом или конечной десятичной дробью (например, $2, 5$ ). Если получилась дробь вида $\frac{1}{3},$ ищи ошибку.