Параллелограммы (Задание 1)

Задание 1 открывает профильный ЕГЭ по математике. Это простая планиметрия, где проверяется знание базовых фигур. Задачи на параллелограмм встречаются здесь не так часто, как на треугольники или окружности, но они максимально предсказуемы. Если знать пару ключевых свойств и формул площадей, эти задачи решаются за одну минуту.

Суть темы

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого определения вытекают все его замечательные свойства, которые нужно использовать при решении.

Основные формулы и свойства

Для успешного решения первой задачи достаточно помнить три группы фактов.

Свойства сторон и углов

1. Противоположные стороны равны: $A B = C D,$ $B C = A D .$
2. Противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C,$ $∠ B = ∠ D .$
3. Сумма соседних углов (прилежащих к одной стороне) равна $18 0^{\circ} :$ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} .$

Свойство диагоналей

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Самая важная часть для Задания 1 - это площади. Большинство задач построено именно на них.

Площадь параллелограмма

Через основание и высоту:

S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

(где $a$ и $b$ - смежные стороны, а $h_{a}$ и $h_{b}$ - проведённые к ним высоты)

Через две стороны и угол между ними:

S = a \cdot b \cdot sin α

Общий алгоритм решения

На ЕГЭ в этом номере есть два основных сюжета: поиск неизвестной высоты и поиск площади отсечённой фигуры (треугольника или трапеции).

Алгоритм решения задач на параллелограмм

1. Сделай чертёж. Отметь на нём все данные из условия. Проведи нужные высоты или отрезки.
2. Определи тип задачи:

Если даны стороны и высота - задача на формулу $S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} .$ Вычисли площадь через известную пару «сторона-высота», а затем раздели её на другую сторону.
Если дана площадь всей фигуры и точка-середина стороны - задача на части площадей. Вырази площадь нужного кусочка через формулу площади треугольника или трапеции, сравнив её с площадью всего параллелограмма.

3. Вычисли и проверь на здравый смысл. Если ищешь высоту к большей стороне, она обязана получиться меньше первой высоты.

Примеры решения

Разберём типичные задачи от самых простых к составным.

Пример 1. Поиск неизвестной высоты

Условие:
Стороны параллелограмма равны $12$ и $16 .$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $8 .$ Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

Показать решение

1. Обозначим стороны: $a = 12$ (меньшая), $b = 16$ (большая).
2. Высота к меньшей стороне: $h_{a} = 8 .$
3. Найдём площадь параллелограмма, умножив меньшую сторону на её высоту:

S = a \cdot h_{a} = 12 \cdot 8 = 96

4. С другой стороны, эта же площадь равна произведению большей стороны на искомую высоту $h_{b} :$

S = b \cdot h_{b} ⟹ 96 = 16 \cdot h_{b}

5. Выразим искомую высоту:

h_{b} = \frac{96}{16} = 6

Проверка здравым смыслом: сторона стала больше ( $16 > 12$ ), значит высота должна стать меньше ( $6 < 8$ ). Всё верно.

Ответ: 6

Во втором типе задач нужно найти площадь части параллелограмма.

Пример 2. Площадь отсечённого треугольника

Условие:
Площадь параллелограмма $A B C D$ равна $52 .$ Точка $E$ - середина стороны $A D .$ Найдите площадь треугольника $A B E .$

Показать решение

1. Запишем формулу площади всего параллелограмма:

S_{A B C D} = A D \cdot h = 52

где $h$ - высота, проведённая к стороне $A D$ (она же является высотой для треугольника $A B E,$ если опустить её из вершины $B$ ).
2. Площадь треугольника $A B E$ вычисляется по формуле:

S_{A B E} = \frac{1}{2} \cdot A E \cdot h

3. По условию точка $E$ - середина $A D,$ значит $A E = \frac{1}{2} A D .$ Подставим это в формулу треугольника:

S_{A B E} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} A D) \cdot h = \frac{1}{4} \cdot (A D \cdot h)

4. Так как $A D \cdot h = 52,$ получаем:

S_{A B E} = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13

Ответ: 13

Пример 3. Площадь отсечённой трапеции

Условие:
Площадь параллелограмма $A B C D$ равна $36 .$ Точка $E$ - середина стороны $A D .$ Найдите площадь трапеции $B C D E .$

Показать решение

Эту задачу проще всего решить, опираясь на результат предыдущего примера. Отрезок $B E$ делит параллелограмм на две фигуры: треугольник $A B E$ и трапецию $B C D E .$

1. Площадь всего параллелограмма состоит из суммы площадей этих частей:

S_{A B C D} = S_{A B E} + S_{B C D E}

2. Выразим площадь трапеции:

S_{B C D E} = S_{A B C D} - S_{A B E}

3. Как мы доказали в Примере 2, площадь треугольника $A B E,$ отсечённого серединой стороны, всегда равна одной четвёртой площади параллелограмма:

S_{A B E} = \frac{1}{4} \cdot S_{A B C D} = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9

4. Найдём площадь трапеции:

S_{B C D E} = 36 - 9 = 27

Ответ: 27

Частые ошибки

Путаница в соответствии сторон и высот

Ошибка: В условии сказано «высота, опущенная на меньшую сторону, равна 10». Ты умножаешь большую сторону на эту высоту, вычисляя площадь неверно.
Правильно: Чётко фиксируй пары: $a \cdot h_{a} .$ Меньшая сторона умножается на большую высоту, большая сторона - на меньшую высоту.

Неправильное понимание площади треугольника

Ошибка: Считать, что если точка $E$ - середина стороны, то отрезок $B E$ делит площадь параллелограмма пополам (то есть $S_{A B E} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ ).
Правильно: Площадь отсечённого с краю треугольника равна $\frac{1}{4}$ от всей площади. Площадь делится пополам только диагональю параллелограмма.

Что запомнить

Правило качелей: чем длиннее сторона, тем короче проведённая к ней высота (произведение должно оставаться неизменным и равным площади).
Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, отсекает треугольник, площадь которого равна $1/4$ площади параллелограмма. Оставшаяся трапеция забирает себе $3/4$ площади.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения Задания 1

Время выполнения: 2-3 минуты.
Рисунок: Всегда делай чертёж от руки, даже если задача кажется устной. Визуализация спасает от глупых ошибок со сторонами.
Проверка: Если ответ получился дробным, перечитай условие. В планиметрии первой части ответы почти всегда являются целыми числами (в крайнем случае - красивыми десятичными дробями вроде $2, 5$ ).