Параллелограммы — ЕГЭ профиль

Параллелограммы (Задание 1)

Задание 1 открывает профильный ЕГЭ по математике. Это простая планиметрия, где проверяется знание базовых фигур. Задачи на параллелограмм встречаются здесь не так часто, как на треугольники или окружности, но они максимально предсказуемы. Если знать пару ключевых свойств и формул площадей, эти задачи решаются за одну минуту.

Суть темы

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого определения вытекают все его замечательные свойства, которые нужно использовать при решении.

Потяни A, B или D: вершина C следует за ними, а противоположные стороны остаются равными и параллельными.

Основные формулы и свойства

Для успешного решения первой задачи достаточно помнить три группы фактов.

ВАЖНОЕ

Свойства сторон и углов

1. Противоположные стороны равны: $A B = C D,$ $B C = A D .$
2. Противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C,$ $∠ B = ∠ D .$
3. Сумма соседних углов (прилежащих к одной стороне) равна $18 0^{\circ} :$ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} .$

ВАЖНОЕ

Свойство диагоналей

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Самая важная часть для Задания 1 - это площади. Большинство задач построено именно на них.

ВАЖНОЕ

Площадь параллелограмма

Через основание и высоту:

S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

(где $a$ и $b$ - смежные стороны, а $h_{a}$ и $h_{b}$ - проведённые к ним высоты)

Через две стороны и угол между ними:

S = a \cdot b \cdot sin α

Общий алгоритм решения

На ЕГЭ в этом номере есть два основных сюжета: поиск неизвестной высоты и поиск площади отсечённой фигуры (треугольника или трапеции).

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на параллелограмм

1. Сделай чертёж. Отметь на нём все данные из условия. Проведи нужные высоты или отрезки.
2. Определи тип задачи:

Если даны стороны и высота - задача на формулу $S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} .$ Вычисли площадь через известную пару «сторона-высота», а затем раздели её на другую сторону.
Если дана площадь всей фигуры и точка-середина стороны - задача на части площадей. Вырази площадь нужного кусочка через формулу площади треугольника или трапеции, сравнив её с площадью всего параллелограмма.

3. Вычисли и проверь на здравый смысл. Если ищешь высоту к большей стороне, она обязана получиться меньше первой высоты.

Примеры решения

Разберём типичные задачи от самых простых к составным.

ПРИМЕР 1

Поиск неизвестной высоты

Условие:
Стороны параллелограмма равны $12$ и $16 .$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $8 .$ Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.

Во втором типе задач нужно найти площадь части параллелограмма.

ПРИМЕР 2

Площадь отсечённого треугольника

Условие:
Площадь параллелограмма $A B C D$ равна $52 .$ Точка $E$ - середина стороны $A D .$ Найдите площадь треугольника $A B E .$

ПРИМЕР 3

Площадь отсечённой трапеции

Условие:
Площадь параллелограмма $A B C D$ равна $36 .$ Точка $E$ - середина стороны $A D .$ Найдите площадь трапеции $B C D E .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в соответствии сторон и высот

Ошибка: В условии сказано «высота, опущенная на меньшую сторону, равна 10». Ты умножаешь большую сторону на эту высоту, вычисляя площадь неверно.
Правильно: Чётко фиксируй пары: $a \cdot h_{a} .$ Меньшая сторона умножается на большую высоту, большая сторона - на меньшую высоту.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное понимание площади треугольника

Ошибка: Считать, что если точка $E$ - середина стороны, то отрезок $B E$ делит площадь параллелограмма пополам (то есть $S_{A B E} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ ).
Правильно: Площадь отсечённого с краю треугольника равна $\frac{1}{4}$ от всей площади. Площадь делится пополам только диагональю параллелограмма.

Что запомнить

Правило качелей: чем длиннее сторона, тем короче проведённая к ней высота (произведение должно оставаться неизменным и равным площади).
Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, отсекает треугольник, площадь которого равна $1/4$ площади параллелограмма. Оставшаяся трапеция забирает себе $3/4$ площади.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения Задания 1

Время выполнения: 2-3 минуты.
Рисунок: Всегда делай чертёж от руки, даже если задача кажется устной. Визуализация спасает от глупых ошибок со сторонами.
Проверка: Если ответ получился дробным, перечитай условие. В планиметрии первой части ответы почти всегда являются целыми числами (в крайнем случае - красивыми десятичными дробями вроде $2, 5$ ).

Проверь себя0 из 4

1.Стороны параллелограмма равны

10

25,

высота к меньшей стороне равна

15 .

Чему равна высота, опущенная на большую сторону?

2.Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна

3.Площадь параллелограмма

A B C D

равна

40 .

Точка

E

— середина стороны

A D .

Чему равна площадь треугольника

A B E ?

4.Какая линия делит площадь параллелограмма ровно пополам?