Окружности и треугольники (разные задачи)

Задание 17 - это классическая планиметрия второй части. Тема «Окружности и треугольники» - абсолютный лидер этого номера (встречается почти в половине случаев). Задачи здесь требуют уверенного владения геометрией: умения находить подобные треугольники, работать с вписанными углами и применять теоремы синусов и косинусов.

Основные формулы и теоремы

Чтобы успешно решать этот тип задач, тебе нужно знать базовые теоремы наизусть.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Свойства касательных и секущих

Если из точки $P$ вне окружности проведены касательная $P T$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B,$ то:

P T^{2} = P A \cdot P B

Если две хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M,$ то:

A M \cdot M B = C M \cdot M D

Касательная и секущая, пересекающиеся хорды

Расширенная теорема синусов

Во всяком треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos C

Алгоритм решения

Алгоритм решения задания 17

1. Сделай крупный и аккуратный чертёж. Не мельчи. Если по условию дан тупоугольный треугольник - рисуй тупоугольный, это сильно влияет на расположение центра описанной окружности (он окажется вне треугольника).
2. Реши пункт «а» (доказательство). Ищи равные углы. В 80% случаев доказательство сводится к нахождению подобных треугольников (по двум углам) или к доказательству того, что четыре точки лежат на одной окружности. Отмечай все равные элементы на чертеже одинаковыми дугами или штрихами.
3. Реши пункт «б» (вычисление). Внимательно посмотри на то, что только что было доказано в пункте «а». Результат первого пункта всегда является ключом к решению второго.
4. Оформи решение. Каждый логический шаг (подобие, применение теоремы) должен сопровождаться названием используемого свойства или теоремы.

Примеры решения

Разберём две классические экзаменационные задачи. Первая покажет, как красиво работать с углами и подобием, а вторая - как высоты треугольника связаны со скрытыми окружностями.

Пример 1. Подобие и серединный перпендикуляр

Условие:
На стороне $A C$ равностороннего треугольника $A B C$ отмечена точка $M .$ Серединный перпендикуляр к отрезку $B M$ пересекает стороны $A B$ и $B C$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $A E M$ и $C M K$ подобны.
б) Найдите отношение $A M : M C,$ если площади треугольников $A E M$ и $C M K$ равны $4$ и $9$ соответственно.

Показать решение

Решение пункта а:

Равносторонний треугольник ABC и подобные треугольники

1. Точки $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $B M .$ По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, $E B = E M$ и $K B = K M .$
2. Треугольники $E B M$ и $K B M$ - равнобедренные.
Пусть $∠ A B M = α,$ а $∠ C B M = β .$ Так как треугольник $A B C$ равносторонний, $∠ B = 6 0^{\circ},$ следовательно $α + β = 6 0^{\circ} .$
Из равнобедренности получаем: $∠ E M B = ∠ E B M = α$ и $∠ K M B = ∠ K B M = β .$
3. Найдём угол $E M K :$
$∠ E M K = ∠ E M B + ∠ K M B = α + β = 6 0^{\circ} .$
4. Угол $A M C$ - развёрнутый ( $18 0^{\circ}$ ). Составим сумму углов с вершиной $M :$
$∠ A M E + ∠ E M K + ∠ K M C = 18 0^{\circ}$
$∠ A M E + 6 0^{\circ} + ∠ K M C = 18 0^{\circ} ⟹ ∠ A M E + ∠ K M C = 12 0^{\circ} .$
5. Рассмотрим треугольник $A E M .$ Сумма его углов равна $18 0^{\circ},$ а $∠ A = 6 0^{\circ} .$
Значит, $∠ A M E + ∠ A E M = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} .$
6. Сравнивая равенства из п.4 и п.5, получаем, что $∠ A E M = ∠ K M C .$
7. В треугольниках $A E M$ и $C M K$ есть две пары равных углов: $∠ A = ∠ C = 6 0^{\circ}$ и $∠ A E M = ∠ K M C .$ Следовательно, $△ A E M \sim △ C M K$ по двум углам. Ч.т.д.

Решение пункта б:
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ( $k^{2}$ ).

\frac{S _{A E M}}{S _{C M K}} = \frac{4}{9} ⟹ k^{2} = \frac{4}{9} ⟹ k = \frac{2}{3}

Значит, все стороны $△ A E M$ относятся к соответствующим сторонам $△ C M K$ как $2 : 3 .$

\frac{A E}{C M} = \frac{A M}{C K} = \frac{E M}{K M} = \frac{2}{3}

2. Пусть сторона равностороннего треугольника $A B C$ равна $a .$ Введём обозначения: $A M = x,$ $M C = y .$ Тогда $x + y = a .$
Выразим нужные отрезки через $x$ и $y :$

A E = \frac{2}{3} y, C K = \frac{3}{2} x

3. Используем длины сторон исходного треугольника:
Сторона $A B = a ⟹ A E + E B = x + y .$
Так как $E B = E M,$ получаем:

\frac{2}{3} y + E M = x + y ⟹ E M = x + \frac{1}{3} y

Сторона $B C = a ⟹ C K + K B = x + y .$
Так как $K B = K M,$ получаем:

\frac{3}{2} x + K M = x + y ⟹ K M = y - \frac{1}{2} x

4. Мы знаем, что $E M = \frac{2}{3} K M .$ Подставим полученные выражения:

x + \frac{1}{3} y = \frac{2}{3} (y - \frac{1}{2} x)

x + \frac{1}{3} y = \frac{2}{3} y - \frac{1}{3} x

Перенесём $x$ влево, а $y$ вправо:

\frac{4}{3} x = \frac{1}{3} y ⟹ 4 x = y

5. Нас просят найти отношение $A M : M C,$ то есть $x : y .$
Так как $y = 4 x,$ отношение $x : y = 1 : 4 .$

Ответ: б) $1 : 4$

Пример 2. Высоты и ортоцентр

Условие:
В остроугольном треугольнике $A B C$ высоты $A A_{1},$ $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $H .$ Через точку $C_{1}$ параллельно высоте $B B_{1}$ проведена прямая, пересекающая высоту $A A_{1}$ в точке $K .$
а) Докажите, что $A B \cdot K H = B C \cdot C_{1} H .$
б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1} H K$ и $A B C,$ если $A B = 6,$ $B C = 4,$ $A C = 5 .$

Показать решение

Решение пункта а:

Требуемое равенство $A B \cdot K H = B C \cdot C_{1} H$ можно переписать в виде пропорции: $\frac{K H}{B C} = \frac{C _{1} H}{A B} .$ Это явный намёк на подобие треугольников $C_{1} K H$ и $A B C .$ Докажем это подобие.

1. Прямая $C_{1} K ∥ B B_{1} .$ Высота $B B_{1} ⊥ A C,$ следовательно, и прямая $C_{1} K ⊥ A C .$
2. В прямоугольном треугольнике $A B B_{1}$ угол $∠ A B B_{1} = 9 0^{\circ} - ∠ A .$
3. Найдём углы $△ C_{1} K H :$

$∠ C_{1} K H :$ Так как $C_{1} K ∥ B B_{1},$ прямая $A A_{1}$ является секущей. Значит, $∠ C_{1} K H = ∠ A H B_{1}$ (внутренние накрест лежащие). В прямоугольном треугольнике $A H B_{1}$ угол $∠ A H B_{1} = 9 0^{\circ} - ∠ H A B_{1} .$ Но $∠ H A B_{1}$ - это часть прямоугольного треугольника $A A_{1} C,$ где $∠ A_{1} A C = 9 0^{\circ} - ∠ C .$ Следовательно, $∠ C_{1} K H = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - ∠ C) = ∠ C .$ Первый угол совпал!
$∠ K C_{1} H :$ Прямые $C_{1} K ∥ B B_{1},$ секущая $C C_{1} .$ Накрест лежащие углы равны: $∠ K C_{1} H = ∠ B H C_{1} .$ В прямоугольном треугольнике $C C_{1} B$ (где $∠ C C_{1} B = 9 0^{\circ}$ ) угол $∠ C_{1} B H = 9 0^{\circ} - ∠ A .$ Тогда в прямоугольном треугольнике $C_{1} H B$ угол $∠ B H C_{1} = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - ∠ A) = ∠ A .$ Следовательно, $∠ K C_{1} H = ∠ A .$ Второй угол совпал!
4. Так как два угла треугольника $C_{1} K H$ равны двум углам треугольника $A B C$ ( $∠ K = ∠ C$ и $∠ C_{1} = ∠ A$ ), треугольники подобны.
5. Запишем отношение соответственных сторон (лежащих напротив равных углов):
$\frac{K H ( напротив ∠ A )}{B C ( напротив ∠ A )} = \frac{C _{1} H ( напротив ∠ C )}{A B ( напротив ∠ C )}$
Отсюда $K H \cdot A B = C_{1} H \cdot B C .$ Ч.т.д.

Решение пункта б:
1. Площади подобных треугольников $C_{1} K H$ и $A B C$ относятся как квадрат коэффициента подобия:

\frac{S _{C_{1} H K}}{S _{A B C}} = k^{2}

Из доказанного в пункте «а» мы знаем, что $k = \frac{C _{1} H}{A B} .$ По условию $A B = 6 .$ Осталось найти длину отрезка $C_{1} H .$
2. Найдём косинус угла $B$ из $△ A B C$ по теореме косинусов ( $a = 4, b = 5, c = 6$ ):

cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{16 + 36 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}

sin B = 1 - (\frac{9}{16})^{2} = \frac{256 - 81}{16} = \frac{5 7}{16}

3. В прямоугольном $△ C_{1} B C$ найдём катеты:

C C_{1} = B C \cdot sin B = 4 \cdot \frac{5 7}{16} = \frac{5 7}{4}

B C_{1} = B C \cdot cos B = 4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{4}

4. Найдём $tg A$ в $△ A B C :$

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}

sin A = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{4}, tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{7}{3}

5. В прямоугольном $△ C_{1} H B$ угол $∠ C_{1} H B = ∠ A$ (доказано в п.3 части «а»).

tg A = \frac{B C _{1}}{C _{1} H} ⟹ C_{1} H = \frac{B C _{1}}{tg A} = \frac{9/4}{7 /3} = \frac{27}{4 7}

6. Вычисляем коэффициент подобия:

k = \frac{C _{1} H}{A B} = \frac{27}{4 7 \cdot 6} = \frac{9}{8 7}

7. Отношение площадей:

k^{2} = (\frac{9}{8 7})^{2} = \frac{81}{64 \cdot 7} = \frac{81}{448}

Ответ: б) $\frac{81}{448}$

Частые ошибки

Опора вписанного угла на хорду вместо дуги

Ошибка: Считать, что если два вписанных угла опираются на одну хорду $A B,$ то они обязательно равны.
Правильно: Они равны, только если их вершины лежат по одну сторону от прямой $A B$ (то есть они опираются на одну и ту же дугу). Если вершины лежат по разные стороны от хорды, то сумма этих углов равна $18 0^{\circ}$ (свойство вписанного четырёхугольника).

Путаница в подобии

Ошибка: Найти один равный угол, заметить визуальную пропорциональность сторон на рисунке и сразу заявить, что $△ A B C \sim △ D E F .$
Правильно: Подобие нужно строго доказать. Либо найди второй равный угол, либо докажи равенство отношения двух прилежащих сторон. Всегда выписывай отношения сторон строго напротив равных углов.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 17

Время выполнения: 25-35 минут.
Очерёдность: Оставь эту задачу на вторую половину экзамена, после уверенного решения джентльменского набора (13, 15, 16) и, возможно, параметров (18). Планиметрия требует свежей головы и времени на поиск идеи.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Не можешь доказать пункт «а»? Сделай вид, что он доказан, и используй этот факт для вычислений в пункте «б». За абсолютно верный пункт «б» (с опорой на недоказанный «а») дадут 1 балл.
Когда стоит пропустить: Если спустя 10 минут поиска на чертеже не нашлось ни одного вписанного четырёхугольника, подобных треугольников или зацепки для теоремы синусов - отложи задачу и переходи к другой. Вернёшься, если останется время.

За что дают баллы

В 17-м задании можно заработать от 0 до 3 баллов:

3 балла (Максимум): Идеально доказан пункт «а» и абсолютно верно посчитан пункт «б». Все шаги логически обоснованы.
2 балла: Пункт «а» доказан верно, логика пункта «б» абсолютно верна, но в самом конце допущена обидная вычислительная ошибка (например, $2 \cdot 3 = 5$ ). Либо если пункт «б» решён безупречно (без использования недоказанного пункта «а», например, найден другой путь вычислений), но сам пункт «а» не решён.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». Либо пункт «а» вообще не тронут, но пункт «б» решён верно с использованием утверждения из пункта «а».
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений. Голый ответ в пункте «б» без обоснований и вычислений также оценивается в 0 баллов.