Логарифмические неравенства первой и второй степени

Логарифмические неравенства первой и второй степени (Задание 15)

Задание 15 проверяет твоё умение решать сложные неравенства. По статистике, логарифмические неравенства - абсолютные лидеры этого номера. Это задание оценивается в 2 первичных балла и требует безупречного алгебраического оформления.

Суть темы и главное правило

Логарифмическое неравенство - это неравенство, в котором неизвестная находится внутри логарифма или в его основании.

Главная сложность логарифмов заключается в их строгих ограничениях (ОДЗ). Логарифм существует далеко не всегда, и потеря ограничений - самая частая причина получения 0 баллов.

Ограничения логарифма

Выражение $lo g_{a} f (x)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда выполняется система:

⎩ ⎨ ⎧ f (x) > 0 a > 0 a \neq = 1

Базовое правило избавления от логарифмов (потенцирования) зависит от основания:

Если основание $a > 1$ , функция возрастает. Логарифмы можно отбросить, сохранив знак неравенства:
$lo g_{a} f (x) ⩾ lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) ⩾ g (x)$ (при условии $g (x) > 0$ ).
Если основание $0 < a < 1$ , функция убывает. Логарифмы отбрасываются со сменой знака неравенства:
$lo g_{a} f (x) ⩾ lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) ⩽ g (x)$ (при условии $f (x) > 0$ ).

Ключевые формулы и методы

Для решения задач второй части тебе регулярно будут нужны свойства логарифмов.

Свойства логарифмов

1. $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (при $x > 0,$ $y > 0$ )
2. $lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ (при $x > 0,$ $y > 0$ )
3. $lo g_{a} (x^{n}) = n \cdot lo g_{a} x$ (при $x > 0$ )
4. $lo g_{a} (x^{2 n}) = 2 n \cdot lo g_{a} ∣ x ∣$ (чётная степень - модуль обязателен!)
5. $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$
6. Переход к новому основанию: $lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

Метод рационализации

Это мощнейший инструмент, который позволяет заменять сложные логарифмические выражения на простые скобки. Он работает только если выражение сравнивается с нулём (или участвует в методе интервалов как множитель) и строго с учётом ОДЗ.

Таблица рационализации (на ОДЗ)

Знак разности $lo g_{a} f (x) - lo g_{a} g (x)$ совпадает со знаком $(a - 1) (f (x) - g (x))$
Знак логарифма $lo g_{a} f (x)$ совпадает со знаком $(a - 1) (f (x) - 1)$
Произведение $lo g_{a} f (x) \cdot lo g_{b} g (x)$ заменяется на $(a - 1) (f (x) - 1) (b - 1) (g (x) - 1)$
Дробь $\frac{lo g _{a} f ( x )}{lo g _{a} g ( x )}$ заменяется на $\frac{f ( x ) - 1}{g ( x ) - 1}$ (при одинаковом основании $(a - 1)$ сокращается - работает для любого $a$ )

Переменное основание

Если неизвестная стоит в основании логарифма, потенцирование напрямую невозможно - основание может быть как больше, так и меньше единицы. Есть два подхода.

Подход 1. Разбиение на случаи. Неравенство $lo g_{g (x)} f (x) ⩾ c$ равносильно совокупности двух систем:

{g (x) > 1 f (x) ⩾ g (x)^{c} {0 < g (x) < 1 f (x) ⩽ g (x)^{c}

В каждой системе не забудь ОДЗ: $f (x) > 0,$ $g (x) > 0,$ $g (x) \neq = 1 .$

Подход 2. Рационализация. Если неравенство приведено к виду, где логарифмическое выражение сравнивается с нулём, можно применять таблицу рационализации напрямую - она уже учитывает знак основания через множитель $(a - 1) .$ Например:

lo g_{g (x)} f (x) ⩾ 0 ⟺ (g (x) - 1) (f (x) - 1) ⩾ 0

(на ОДЗ: $f (x) > 0,$ $g (x) > 0,$ $g (x) \neq = 1$ )

Рационализация здесь удобнее, потому что избавляет от разбора двух случаев.

Общий алгоритм решения

Алгоритм решения задания 15

1. Запиши ОДЗ или ограничения. Выпиши все условия существования логарифмов, знаменателей и корней. Реши эту систему до конца или перейди к равносильным переходам.
2. Упрости неравенство. Приведи логарифмы к одному основанию, вынеси степени, разложи на множители.
3. Выбери метод. Если логарифмы одинаковые - сделай замену $t = lo g_{a} x .$ Если неравенство дробно-логарифмическое - перенеси всё в одну сторону, приведи к общему знаменателю и примени метод рационализации.
4. Реши алгебраическое неравенство. Найди нули числителя и знаменателя, нанеси на ось, расставь знаки методом интервалов.
5. Сделай обратную замену. Реши простейшие неравенства для $x .$
6. Пересеки с ОДЗ. Нанеси полученный результат и ОДЗ на одну числовую прямую. Запиши итоговый ответ.

Примеры решения

Ниже разобраны два классических типа: решение через свойства (с равносильными переходами) и метод замены переменной.

Пример 1. Свойства логарифмов и равносильные переходы

Условие:
Решите неравенство $2 lo g_{2} (x 5) - lo g_{2} (\frac{x}{1 - x}) ⩽ lo g_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2) .$

Показать решение

1. Найдем ограничения (ОДЗ):

⎩ ⎨ ⎧ x 5 > 0 \frac{x}{1 - x} > 0 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2 > 0

Из первого неравенства $x > 0 .$ Тогда во втором знаменатель должен быть положительным: $1 - x > 0 ⟹ x < 1 .$
Значит, $x \in (0; 1) .$
Третье неравенство пока не решаем (оно сложное), оно автоматически выполнится на следующем шаге.

2. Преобразование неравенства:
Внесем двойку в степень аргумента: $2 lo g_{2} (x 5) = lo g_{2} (5 x^{2}) .$
Перепишем исходное неравенство, перенеся минус вправо (чтобы избежать дробей внутри логарифма):

lo g_{2} (5 x^{2}) ⩽ lo g_{2} (\frac{5 x ^{3} - 2 x + 1}{x}) + lo g_{2} (\frac{x}{1 - x})

Применим формулу суммы логарифмов справа (на нашем ОДЗ оба аргумента положительны):

lo g_{2} (5 x^{2}) ⩽ lo g_{2} (\frac{5 x ^{3} - 2 x + 1}{x} \cdot \frac{x}{1 - x})

Сократим на $x$ (ведь $x \neq = 0$ ):

lo g_{2} (5 x^{2}) ⩽ lo g_{2} (\frac{5 x ^{3} - 2 x + 1}{1 - x})

3. Потенцирование:
Основание логарифма $2 > 1,$ знак сохраняется. Третье условие ОДЗ ( $5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2 > 0$ ) проверять отдельно не нужно: на решениях неравенства правая часть $\frac{5 x ^{3} - 2 x + 1}{1 - x} ⩾ 5 x^{2} > 0,$ значит аргумент логарифма положителен.

5 x^{2} ⩽ \frac{5 x ^{3} - 2 x + 1}{1 - x}

Так как $x \in (0; 1),$ знаменатель $1 - x > 0 .$ Имеем право домножить на него без смены знака:

5 x^{2} (1 - x) ⩽ 5 x^{3} - 2 x + 1

5 x^{2} - 5 x^{3} ⩽ 5 x^{3} - 2 x + 1

10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1 ⩾ 0

4. Решение кубического неравенства:
Применим метод группировки:

5 x^{2} (2 x - 1) - (2 x - 1) ⩾ 0 ⟹ (5 x^{2} - 1) (2 x - 1) ⩾ 0

Найдем нули: $5 x^{2} = 1 ⟹ x = \pm \frac{1}{5}$ и $2 x = 1 ⟹ x = \frac{1}{2} .$
Нас интересует только отрезок $x \in (0; 1) .$ Расставим знаки на этом интервале:

Корень $- \frac{1}{5}$ не входит в интервал.
Точки внутри: $x_{1} = \frac{1}{5}$ и $x_{2} = \frac{1}{2} .$
Проверяем знаки на $(0; 1) :$
При $x = 0, 1 :$ $(-) \cdot (-) = +$
При $x = 0, 48 :$ $(+) \cdot (-) = -$
При $x = 0, 8 :$ $(+) \cdot (+) = +$

$Метод интервалов$

Нам нужно $⩾ 0 .$ Значит, подходят промежутки $(0; \frac{1}{5}]$ и $[\frac{1}{2}; 1) .$

Ответ: $(0; \frac{1}{5}] \cup [\frac{1}{2}; 1) .$

Пример 2. Метод замены переменной

Условие:
Решите неравенство $1 + \frac{6}{lo g _{3} x - 3} + \frac{5}{lo g _{3}^{2} x - lo g _{3} ( 27 x ^{6} ) + 12} ⩾ 0 .$

Показать решение

1. ОДЗ и преобразования:
Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $27 x^{6} > 0 .$ Значит, $x > 0 .$
Упростим выражение $lo g_{3} (27 x^{6})$ с помощью свойств логарифма:

lo g_{3} (27 x^{6}) = lo g_{3} 27 + lo g_{3} x^{6} = 3 + 6 lo g_{3} x

(Заметь: мы вынесли чётную степень $6$ и по правилу должны поставить модуль $∣ x ∣,$ но так как по ОДЗ $x > 0,$ модуль раскрывается с плюсом: $∣ x ∣ = x$ ).

Подставим в неравенство:

1 + \frac{6}{lo g _{3} x - 3} + \frac{5}{lo g _{3}^{2} x - ( 3 + 6 lo g _{3} x ) + 12} ⩾ 0

1 + \frac{6}{lo g _{3} x - 3} + \frac{5}{lo g _{3}^{2} x - 6 lo g _{3} x + 9} ⩾ 0

2. Замена переменной:
Заметим формулу квадрата разности в знаменателе. Пусть $t = lo g_{3} x .$

1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{( t - 3 ) ^{2}} ⩾ 0

Приведем к общему знаменателю $(t - 3)^{2} :$

\frac{( t - 3 ) ^{2} + 6 ( t - 3 ) + 5}{( t - 3 ) ^{2}} ⩾ 0

\frac{t ^{2} - 6 t + 9 + 6 t - 18 + 5}{( t - 3 ) ^{2}} ⩾ 0 ⟹ \frac{t ^{2} - 4}{( t - 3 ) ^{2}} ⩾ 0

3. Метод интервалов для $t :$
Нули числителя: $t^{2} - 4 = 0 ⟹ t = 2, t = - 2$ (закрашенные точки).
Нули знаменателя: $t - 3 = 0 ⟹ t = 3$ (выколотая точка, чётная кратность - знак не чередуется!).

$Метод интервалов для переменной t$
Подпись: Числовая ось t. Отмечены точки: закрашенная -2, закрашенная 2, выколотая 3. Знаки на интервалах слева направо: плюс, минус, плюс, плюс. Важно: между 2 и 3 знак плюс и между 3 и бесконечностью тоже плюс - знак через точку 3 НЕ меняется (чётная кратность, (t-3) в квадрате). Выделены промежутки со знаком плюс: от минус бесконечности до -2, от 2 до 3 (без 3), от 3 до плюс бесконечности (без 3).

Нам нужно $⩾ 0,$ поэтому решения: $t ⩽ - 2,$ либо $2 ⩽ t < 3,$ либо $t > 3 .$

4. Обратная замена:
1) $lo g_{3} x ⩽ - 2 ⟹ lo g_{3} x ⩽ lo g_{3} \frac{1}{9} ⟹ x ⩽ \frac{1}{9} .$ С учетом ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{9}] .$
2) $2 ⩽ lo g_{3} x < 3 ⟹ lo g_{3} 9 ⩽ lo g_{3} x < lo g_{3} 27 ⟹ 9 ⩽ x < 27 .$
3) $lo g_{3} x > 3 ⟹ x > 27 .$

$Обратная замена: ответ на оси x$

Ответ: $(0; \frac{1}{9}] \cup [9; 27) \cup (27; + \infty) .$

Частые ошибки

Вынесение чётной степени без модуля

Ошибка: Написать $lo g_{2} (x^{2}) = 2 lo g_{2} x .$ Если по ОДЗ $x$ мог быть отрицательным, ты только что отрезал половину решений.
Правильно: $lo g_{2} (x^{2}) = 2 lo g_{2} ∣ x ∣ .$ Всегда проверяй общее ОДЗ перед тем, как скидывать чётную степень!

Потеря изолированной точки

Ошибка: При решении неравенства $\frac{( x - 5 ) ^{2}}{x - 2} ⩽ 0$ сократить квадрат и получить только $x < 2 .$
Правильно: Точка $x = 5$ обращает числитель в $0,$ а значит всё выражение равно $0 .$ Знак $⩽$ включает равенство! Правильный ответ: $x \in (- \infty; 2) \cup {5} .$

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай сразу после 13 и 14 заданий. Это понятный алгоритмичный номер.
Проверка: Если ответ получился в виде красивых интервалов, возьми по одному числу из каждого промежутка и подставь в самое первое исходное неравенство. Это займет 2 минуты, но спасёт баллы.
Оформление: Не делай несколько логических шагов в уме. Эксперт должен чётко видеть: как найдено ОДЗ, как сделана замена, как решено неравенство для новой переменной, как сделана обратная замена. Рисуй оси для метода интервалов прямо в чистовике.

За что дают баллы

В 15 задании можно получить от 0 до 2 баллов:

2 балла: Ты выписал правильные ограничения, логично пришёл к верному ответу без математических ошибок.
1 балл: Решение абсолютно верное по логике, но допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ). Либо получен ответ, который отличается от правильного только тем, что ты включил выколотую точку или выколол закрашенную (потерял граничную точку).
0 баллов: Ошибка в свойствах логарифмов, забыто ОДЗ, неверно применён метод интервалов или получен неправильный ответ без записей решения.