Кредиты

Экономическая задача: Кредиты

Задание 16 проверяет умение строить математические модели для реальных жизненных ситуаций. Абсолютное большинство задач в этом номере посвящено кредитам. Это задание требует внимательного чтения условия и аккуратных вычислений.

Суть темы и базовые переменные

Любая задача на кредит строится по одному сценарию:
1. Банк выдает сумму $S\text{.}$
2. В конце платежного периода банк начисляет процент $r\text{.}$ Долг увеличивается.
3. Клиент вносит платеж $X\text{.}$ Долг уменьшается.
4. Цикл повторяется, пока долг не станет равен нулю.

Для составления уравнений удобно ввести множитель увеличения долга - коэффициент $k\text{.}$

Например, если банк начисляет $20\%\text{,}$ то долг увеличивается на $20\%\text{,}$ то есть становится равным $120\%$ от предыдущего значения. В формулах это запишется как умножение на $k=1,2\text{.}$

Существуют две основные схемы погашения кредита, которые встречаются на ЕГЭ.

1. Аннуитетные (равные) платежи

По этой схеме клиент каждый раз вносит одну и ту же сумму $X\text{.}$ Долг убывает неравномерно.

Математическая модель строится цепочкой:

• 1 год: взял $S\text{,}$ банк начислил процент ($S\cdot k$), внес платеж ($X$). Остаток: $S_1=Sk-X\text{.}$
• 2 год: на остаток начислили процент ($S_1\cdot k$), внес платеж ($X$). Остаток: $S_2=(Sk-X)k-X=S{k}^2-Xk-X\text{.}$
• 3 год: $S_3=(S{k}^2-Xk-X)k-X=S{k}^3-X{k}^2-Xk-X\text{.}$
• Если кредит взят на 3 года, то $S_3=0\text{.}$

2. Дифференцированные платежи (равномерное уменьшение долга)

В условии сказано: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц/год».
Здесь долг убывает равномерно: $S\to \frac{n-1}{n}S\to \frac{n-2}{n}S\to \cdots \to 0\text{.}$

Платеж каждый месяц разный. Удобнее всего разбить каждый платеж на две части:
1. Выплата части основного долга (всегда равна $\frac{S}{n}\text{,}$ где $n$ - срок кредита).
2. Погашение начисленных процентов (равно $\frac{r}{100}\cdot \text{Текущий остаток долга}$).

Общий алгоритм решения

Примеры решения задач

Разберем три задачи из реальных вариантов ЕГЭ: на равные платежи, на равномерное убывание долга и смешанную схему.

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

В задании 16 можно получить от 0 до 2 первичных баллов.

• 2 балла (Максимум): Верно построена математическая модель, все шаги обоснованы, получен верный числовой ответ.
• 1 балл (Частичный): Верно построена математическая модель (составлено итоговое уравнение или система, правильно учитывающая все условия кредита), но решение не завершено ИЛИ допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2+3=6$), с которой решение доведено до конца. Ошибка в формуле (например, перепутан знак или неправильно посчитан $k$) - это ошибка модели, за нее ставится 0 баллов.
• 0 баллов: Модель построена неверно, либо записан только ответ без решения.

Что запомнить

1. Читай внимательно: ищи слова-маркеры. "Равные платежи" - выводи уравнение с $k^n\text{.}$ "Долг уменьшается на одну и ту же величину" - используй арифметическую прогрессию.
2. Пиши "дано": введение переменных $S,r,k,x$ спасает от путаницы и показывает эксперту твою логику.
3. Общая выплата = Долг + Переплата: в задачах с убывающим долгом это самый быстрый способ составить уравнение. Расписывать каждый платеж по отдельности не обязательно.
4. Строй таблицы, лучше визуально представить схему выплат, если понимаешь как и умеешь.