Экономическая задача: Кредиты

Задание 16 проверяет умение строить математические модели для реальных жизненных ситуаций. Абсолютное большинство задач в этом номере посвящено кредитам. Это задание требует внимательного чтения условия и аккуратных вычислений.

Суть темы и базовые переменные

Любая задача на кредит строится по одному сценарию:
1. Банк выдает сумму $S .$
2. В конце платежного периода банк начисляет процент $r .$ Долг увеличивается.
3. Клиент вносит платеж $X .$ Долг уменьшается.
4. Цикл повторяется, пока долг не станет равен нулю.

Для составления уравнений удобно ввести множитель увеличения долга - коэффициент $k .$

Коэффициент увеличения долга

k = 1 + \frac{r}{100},

(где $r$ - годовая процентная ставка банка)

Например, если банк начисляет $20%,$ то долг увеличивается на $20%,$ то есть становится равным $120%$ от предыдущего значения. В формулах это запишется как умножение на $k = 1, 2 .$

Существуют две основные схемы погашения кредита, которые встречаются на ЕГЭ.

1. Аннуитетные (равные) платежи

По этой схеме клиент каждый раз вносит одну и ту же сумму $X .$ Долг убывает неравномерно.

Математическая модель строится цепочкой:

1 год: взял $S,$ банк начислил процент ( $S \cdot k$ ), внес платеж ( $X$ ). Остаток: $S_{1} = S k - X .$
2 год: на остаток начислили процент ( $S_{1} \cdot k$ ), внес платеж ( $X$ ). Остаток: $S_{2} = (S k - X) k - X = S k^{2} - X k - X .$
3 год: $S_{3} = (S k^{2} - X k - X) k - X = S k^{3} - X k^{2} - X k - X .$
Если кредит взят на 3 года, то $S_{3} = 0 .$

2. Дифференцированные платежи (равномерное уменьшение долга)

В условии сказано: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц/год».
Здесь долг убывает равномерно: $S \to \frac{n - 1}{n} S \to \frac{n - 2}{n} S \to \dots \to 0 .$

Платеж каждый месяц разный. Удобнее всего разбить каждый платеж на две части:
1. Выплата части основного долга (всегда равна $\frac{S}{n},$ где $n$ - срок кредита).
2. Погашение начисленных процентов (равно $\frac{r}{100} \cdot Текущий остаток долга$ ).

Общий алгоритм решения

Алгоритм решения кредитной задачи

1. Определи схему выплат. Внимательно прочитай условие: платежи равные или долг убывает равномерно? А может, дана конкретная таблица?
2. Введи переменные. Обязательно пропиши в решении, что обозначает каждая буква ( $S$ - сумма кредита, $r$ - ставка, $k = 1 + \frac{r}{100},$ $x$ - платеж). Без этого могут снизить балл.
3. Построй математическую модель. Распиши каждый год/месяц. Для равных платежей выведи итоговое уравнение. Для неравных - выпиши последовательность остатков долга и начисленных процентов.
4. Составь уравнение. Используй дополнительные условия: общую сумму выплат, размер переплаты или конкретный платеж.
5. Вычисли ответ. Решай аккуратно, старайся не умножать большие числа до самого конца - часто можно вынести общий множитель и сократить дробь.

Примеры решения задач

Разберем три задачи из реальных вариантов ЕГЭ: на равные платежи, на равномерное убывание долга и смешанную схему.

Пример 1. Равные платежи

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено $292820$ рублей?

Показать решение

Пусть $S$ - искомая сумма кредита.
Процентная ставка $r = 10%,$ тогда коэффициент увеличения долга $k = 1 + \frac{10}{100} = 1, 1 .$
Кредит погашается $4$ равными платежами. Пусть $x$ - размер одного платежа.
Так как банку всего выплачено $292820$ рублей за $4$ платежа, найдем размер одного платежа:

4 x = 292820 ⟹ x = 73205

Составим математическую модель (остатки долга по годам):

1 год: $S_{1} = 1, 1 S - x$
2 год: $S_{2} = 1, 1 (1, 1 S - x) - x = 1, 1^{2} S - 1, 1 x - x$
3 год: $S_{3} = 1, 1 (1, 1^{2} S - 1, 1 x - x) - x = 1, 1^{3} S - 1, 1^{2} x - 1, 1 x - x$
4 год: $S_{4} = 1, 1 (1, 1^{3} S - 1, 1^{2} x - 1, 1 x - x) - x = 1, 1^{4} S - 1, 1^{3} x - 1, 1^{2} x - 1, 1 x - x$

Так как за 4 года кредит погашен полностью, $S_{4} = 0 .$ Получаем уравнение:

1, 1^{4} S = x (1, 1^{3} + 1, 1^{2} + 1, 1 + 1)

1, 4641 S = 73205 \cdot (1, 331 + 1, 21 + 1, 1 + 1)

1, 4641 S = 73205 \cdot 4, 641

Выразим $S :$

S = \frac{73 205 \cdot 4 , 641}{1 , 4641}

Умножим числитель и знаменатель на $10000,$ чтобы избавиться от запятых:

S = \frac{73 205 \cdot 46 410}{14 641}

Заметим, что $73205 = 5 \cdot 14641 .$ Сокращаем:

S = 5 \cdot 46410 = 232050

Ответ: $232050$ рублей.

Пример 2. Равномерное уменьшение долга

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $10$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит $15$ млн рублей?

Показать решение

Пусть $S = 10$ млн рублей - сумма кредита, $r = 10%$ - ставка, $n$ - количество лет.
Так как долг уменьшается на одну и ту же величину каждый год, эта величина равна $\frac{S}{n} .$
Выпишем последовательность остатков долга на начало каждого года (до начисления процентов):

S, \frac{n - 1}{n} S, \frac{n - 2}{n} S, \dots, \frac{1}{n} S

Общая сумма выплат состоит из суммы самого долга ( $S$ ) и суммы всех выплаченных процентов ( $I$ ).
По условию $S + I = 15 .$ Подставим $S = 10 :$

10 + I = 15 ⟹ I = 5 млн рублей

Проценты начисляются каждый год на текущий остаток долга. Найдем сумму всех процентов:

I = \frac{r}{100} \cdot S + \frac{r}{100} \cdot \frac{n - 1}{n} S + \dots + \frac{r}{100} \cdot \frac{1}{n} S

Вынесем общий множитель $\frac{r}{100} \cdot \frac{S}{n} :$

I = \frac{r}{100} \cdot \frac{S}{n} \cdot (n + (n - 1) + \dots + 1)

Сумма в скобках - это арифметическая прогрессия от $1$ до $n .$ Ее сумма равна $\frac{1 + n}{2} \cdot n .$

I = \frac{10}{100} \cdot \frac{10}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2}

I = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2}

Мы знаем, что $I = 5 .$ Решим уравнение:

\frac{n + 1}{2} = 5 ⟹ n + 1 = 10 ⟹ n = 9

Ответ: $9$ лет.

Пример 3. Смешанная схема (Ступенчатое убывание)

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг будет возрастать на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
в июле 2030 года долг должен составить $200$ тыс. рублей;
в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль;
к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $1480$ тыс. рублей. Найдите $r .$

Показать решение

Пусть $S = 800$ тыс. рублей.
В первые $5$ лет долг уменьшается с $800$ до $200$ тыс. рублей равными шагами.
Шаг уменьшения (выплата тела кредита): $\frac{800 - 200}{5} = 120$ тыс. рублей.
Во вторые $5$ лет долг уменьшается с $200$ до $0$ равными шагами.
Шаг уменьшения: $\frac{200}{5} = 40$ тыс. рублей.

Выпишем остатки долга по годам на момент начисления процентов:
1-5 годы: $800, 680, 560, 440, 320$
6-10 годы: $200, 160, 120, 80, 40$

Общая сумма выплат равна: Исходный долг $+$ Все проценты.

1480 = 800 + I ⟹ I = 680 тыс . рублей

Проценты начисляются на текущий остаток долга. Вынесем $\frac{r}{100}$ за скобки и сложим все остатки:

I = \frac{r}{100} \cdot ((800 + 680 + 560 + 440 + 320) + (200 + 160 + 120 + 80 + 40))

Сумма первой группы: $\frac{800 + 320}{2} \cdot 5 = 2800 .$
Сумма второй группы: $\frac{200 + 40}{2} \cdot 5 = 600 .$
Общая сумма остатков: $2800 + 600 = 3400 .$

Подставим в формулу процентов:

680 = \frac{r}{100} \cdot 3400

680 = 34 r ⟹ r = \frac{680}{34} = 20

Ответ: $20 .$

Частые ошибки

Путаница в коэффициенте увеличения

Ошибка: При ставке $25%$ записать коэффициент как $k = 0, 25$ и умножать на него долг. Тогда долг не растет, а уменьшается в 4 раза!
Правильно: Коэффициент увеличения всегда больше единицы. $k = 1 + \frac{25}{100} = 1, 25 .$

Проценты от изначальной суммы

Ошибка: Считать, что банк каждый год начисляет проценты от стартовой суммы кредита (например, всегда берет $10%$ от $1$ миллиона).
Правильно: Банк начисляет проценты только на невыплаченный остаток. Чем меньше ты должен банку, тем меньше процентов "накапает" в этом месяце.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 16

Ориентировочное время: 15-25 минут.
Приоритет: Это одна из самых "решаемых" задач второй части. Если умеешь составлять модель - берись за нее сразу после 13 и 15 заданий.
Проверка: После получения ответа проверь его на здравый смысл. Ставка $r$ обычно от $5%$ до $30% .$ Сумма выплат всегда больше, чем исходный кредит, но не в 10 раз.
Оформление: Обязательно словами описывай, что значит твоя формула или таблица. Эксперт не должен догадываться, откуда взялось уравнение.

За что дают баллы

В задании 16 можно получить от 0 до 2 первичных баллов.

2 балла (Максимум): Верно построена математическая модель, все шаги обоснованы, получен верный числовой ответ.
1 балл (Частичный): Верно построена математическая модель (составлено итоговое уравнение или система, правильно учитывающая все условия кредита), но решение не завершено ИЛИ допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ), с которой решение доведено до конца. Ошибка в формуле (например, перепутан знак или неправильно посчитан $k$ ) - это ошибка модели, за нее ставится 0 баллов.
0 баллов: Модель построена неверно, либо записан только ответ без решения.

Что запомнить

1. Читай внимательно: ищи слова-маркеры. "Равные платежи" - выводи уравнение с $k^{n} .$ "Долг уменьшается на одну и ту же величину" - используй арифметическую прогрессию.
2. Пиши "дано": введение переменных $S, r, k, x$ спасает от путаницы и показывает эксперту твою логику.
3. Общая выплата = Долг + Переплата: в задачах с убывающим долгом это самый быстрый способ составить уравнение. Расписывать каждый платеж по отдельности не обязательно.
4. Строй таблицы, лучше визуально представить схему выплат, если понимаешь как и умеешь.