Задание 4. Классическое определение вероятности

В задании 4 ЕГЭ по математике проверяется умение решать самые простые задачи на теорию вероятностей. В отличие от задания 5, где встречаются сложные конструкции с несколькими событиями (совместными, независимыми), здесь всё сводится к одной базовой формуле. Задания этого типа обычно описывают броски кубиков, жеребьёвки спортсменов, вытаскивание билетов на экзамене или выбор бракованных сумок на фабрике и тд.

Суть темы

Вероятность - это числовая мера того, насколько возможно наступление какого-либо события. В классической модели мы предполагаем, что все возможные исходы эксперимента (например, выпадение граней кубика) равновозможны (равновероятны). То есть ни у одного исхода нет преимущества перед другими.

Если нас интересует какое-то конкретное событие (назовём его $A$ ), то его вероятность обозначается как $P (A) .$

Основные формулы

Главный инструмент для решения задания 4 - классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности

P (A) = \frac{m}{n}

где:
$m$ - количество исходов, благоприятствующих событию $A$ (то, что мы ищем),
$n$ - общее количество всех равновозможных исходов.

Вероятность - это всегда доля. Из этого вытекают два строгих правила:
1. Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы: $0 ⩽ P (A) ⩽ 1 .$
2. Достоверное событие (которое произойдёт точно) имеет вероятность $1 .$ Невозможное событие имеет вероятность $0 .$

Часто задачу проще решить от обратного. Для этого используется понятие противоположного события (обозначается как $\overset{ˉ}{A}$ ). Это событие, при котором $A$ не наступает.

Вероятность противоположного события

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице.

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в условиях, всегда действуй по одному и тому же плану.

Алгоритм решения задания 4

1. Найди $n$ (общее число исходов). Внимательно прочитай условие и определи, из какого общего количества объектов, людей или вариантов делается выбор.
2. Найди $m$ (число благоприятных исходов). Определи, сколько объектов или вариантов удовлетворяют требованию задачи.
3. Вычисли дробь. Раздели $m$ на $n :$ $P = \frac{m}{n} .$
4. Переведи в десятичную дробь. В бланк ЕГЭ можно вписать только целое число или конечную десятичную дробь. Если дробь не переводится (например, получается $\frac{1}{3}$ ), значит, в вычислениях или логике есть ошибка - перечитай условие.

Примеры решения

Разберём типичные задачи от самых базовых до тех, где требуется аккуратно посчитать исходы.

Пример 1. Жеребьёвка

На школьном концерте выступают $40$ учеников: $9$ из $10$ А, $11$ из $10$ Б, остальные из $10$ В. Очерёдность выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым выступит ученик из $10$ В.

Решение:
1. Общее число учеников $n = 40 .$
2. Найдём число учеников из 10В:
$m = 40 - 9 - 11 = 20 .$
3. Найдём вероятность:

P = \frac{m}{n} = \frac{20}{40} = 0, 5

Ответ: $0, 5$

Пример 2. Выбор группы

В спортивной секции $15$ человек. Тренер случайным образом выбирает $3$ человек для участия в эстафете. Какова вероятность того, что спортсмен К. окажется в числе выбранных?

Решение:
Представь, что в мешке лежат $15$ жетонов, на $3$ из которых написано "участвует в эстафете". Спортсмен К. вытягивает один жетон.
1. Общее количество жетонов (исходов): $n = 15 .$
2. Количество "выигрышных" жетонов (благоприятных исходов): $m = 3 .$
3. Считаем вероятность:

P = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0, 2

Ответ: $0, 2$

Иногда в задаче проще сначала найти вероятность брака, а потом вычесть её из единицы.

Пример 3. Противоположные события

На складе $125$ ноутбуков. Известно, что у $15$ из них есть дефект батареи. Покупатель выбирает один ноутбук наугад. Найдите вероятность того, что он окажется исправным.

Решение:
Здесь можно пойти двумя путями.
Первый способ (прямой): Найти количество исправных ноутбуков ( $125 - 15 = 110$ ) и разделить на общее количество ( $P = \frac{110}{125}$ ).

Второй способ (через противоположное событие):
1. Найдём вероятность того, что ноутбук с дефектом (событие $A$ ).
$m = 15$ (дефектные), $n = 125$ (всего).

P (A) = \frac{15}{125}

Сократим дробь на $5 :$ $P (A) = \frac{3}{25} .$ Умножим на $4,$ чтобы получить сотые: $\frac{12}{100} = 0, 12 .$
2. Нам нужна вероятность того, что ноутбук исправен (событие $\overset{ˉ}{A}$ ). Вычтем из единицы:

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - 0, 12 = 0, 88

Ответ: $0, 88$

Самый сложный подтип в 4 задании - это задачи на игральные кости с дополнительным условием.

Когда эксперимент повторяется дважды (например, кубик бросают два раза), каждый исход - это пара (результат первого броска, результат второго). Пара $(2, 5)$ и пара $(5, 2)$ - это разные исходы. Чтобы найти общее число таких пар, нужно перемножить число вариантов для каждого броска: $6 \cdot 6 = 36 .$

В некоторых задачах дополнительно происходит сужение пространства исходов - часть пар исключается по условию.

Пример 4. Броски игральной кости с условием

Игральную кость бросили два раза. Известно, что в обоих бросках выпало больше одного очка. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 7».

Показать решение

Каждый исход - это пара (первый бросок, второй бросок). Без ограничений таких пар $6 \cdot 6 = 36 .$ Но в задаче есть условие: в обоих бросках выпало больше одного очка. Значит, все пары, содержащие единицу, мы исключаем.

1. Найдём новое $n$ . У каждого кубика осталось по $5$ возможных граней (от $2$ до $6$ ).

n = 5 \cdot 5 = 25

2. Найдём $m$ . Нам нужны пары, которые в сумме дают $7$ и не содержат единицу.
Выпишем все варианты получить $7 :$

$(1, 6)$ и $(6, 1)$ - не подходят, есть единица
$(2, 5)$ - подходит
$(5, 2)$ - подходит
$(3, 4)$ - подходит
$(4, 3)$ - подходит

Итого благоприятных исходов: $m = 4 .$

3. Считаем вероятность:

P = \frac{4}{25}

Домножим числитель и знаменатель на $4 :$

P = \frac{16}{100} = 0, 16

Ответ: $0, 16$

Частые ошибки

Путаница с порядковым номером

Ошибка: В задаче спрашивается: «Найдите вероятность того, что спортсмен будет выступать двенадцатым». Ученик делит количество спортсменов нужной страны на $12$ или использует $12$ как числитель.
Правильно: Порядковый номер (первый, пятый, двенадцатый) - это просто указание на одно конкретное место в очереди. Он никак не участвует в формуле $P = \frac{m}{n} .$ Знаменателем всегда остаётся общее количество участников.

Невнимательность к вопросу (брак или исправность)

Ошибка: В задаче дано количество бракованных деталей. Ученик автоматически делит брак на общее число и записывает это в ответ, не заметив, что в вопросе просят найти вероятность выбора исправной детали.
Правильно: Всегда перечитывай вопрос задачи перед тем, как записать ответ в бланк. Сравнивай то, что ты нашёл, с тем, что спрашивалось.

Что запомнить

Вероятность - это всегда «наши» делить на «всех».
При жеребьёвке вероятность оказаться на первом, последнем или любом другом конкретном месте абсолютно одинакова.
Если в задаче сказано «известно, что событие Х не произошло», нужно физически выбросить эти исходы из общего количества $n .$ Общее число комбинаций уменьшится.
Если при делении получается бесконечная дробь (например, $0, 333...$ ), остановись. В первой части ЕГЭ ответ всегда конечный. Ищи ошибку в выборе чисел для $m$ и $n .$

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 4

Время выполнения: 2–3 минуты.
Очерёдность: Задание стоит решать сразу же при первом проходе по тестовой части. Оно не требует сложных вычислений.
Проверка: Получив ответ, оцени его адекватность. Если спортсменов из нужной страны мало, вероятность должна быть близка к нулю. Если просят найти исправную деталь (которых обычно подавляющее большинство), вероятность должна быть близка к единице (например, $0, 92$ или $0, 98$ ).
Лайфхак для кубиков: Если путаешься в уме, быстро начерти на черновике табличку $6 \times 6 .$ Зачеркни столбец и строку с шестёрками (если они не выпадали), а затем просто обведи кружочками нужные комбинации внутри оставшегося квадрата $5 \times 5 .$ Это исключит любую ошибку при подсчёте.