Задача №18520

Так как шар вписан в цилиндр, то радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна двум радиусам шара.

Пусть радиус шара равен $R\text{.}$ Тогда радиус основания цилиндра равен $R\text{,}$ высота цилиндра равна $2R\text{.}$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

$$S=4\pi r^2,$$

где $r$ — радиус шара. Тогда площадь поверхности шара равна

$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2.$$

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле

$$S=2S_{\text{осн.}}+S_{\text{бок.}}=2\pi r^2+2\pi rh,$$

где $S_{\text{осн.}}$ — площадь основания, $S_{\text{бок.}}$ — площадь боковой поверхности, $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра. Тогда площадь полной поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{цил.}}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=2\pi R^2+4\pi R^2=6\pi R^2.$$

Найдём отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности цилиндра:

$$\frac{S_{\text{шара}}}{S_{\text{цил.}}}=\frac{4\pi R^2}{6\pi R^2}=\frac{2}{3}\Rightarrow S_{\text{шара}}=\frac{2}{3}{S}_{\text{цил.}}=\frac{2}{3}\cdot 6=4.$$