Задача №18519

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$(x+3)|x+3|=2x-a$$

имеет два различных решения.

Пусть $f(x)=(x+3)|x+3|\text{,}$ $g(x)=2x-a\text{.}$ Заметим, что функция $g(x)$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $2\text{,}$ которая двигается вверх-вниз в зависимости от параметра $a\text{.}$

Рассмотрим функцию $f(x)$ и раскроем модуль по определению:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+3{)}^2& \text{при }x⩾-3\\ -(x+3{)}^2& \text{при }x<-3\end{array}$$

Заметим, что $y=(x+3{)}^2$ задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(-3;0)\text{,}$ а $y=-(x+3{)}^2$ задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $(-3;0)\text{.}$

Будем двигать прямую $y=2x-a\text{,}$ изменяя значение параметра $a$ от $-\infty$ до $+\infty \text{.}$

Случай I. Прямая касается левой ветви параболы $y=-(x+3{)}^2\text{.}$ В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком $f(x)\text{.}$ До случая I прямая имеет одну точку пересечения.

Случай II. Прямая касается правой ветви параболы $y=(x+3{)}^2\text{.}$ В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком $f(x)\text{.}$ Между случаями I и II прямая имеет три общие точки с графиком. После данного положения прямая будет иметь одну точку пересечения.

Найдём значение параметра $a\text{,}$ при котором происходит касание прямой $y=2x-a$ с левой ветвью параболы $y=-(x+3{)}^2\text{,}$ приравняв правые части их уравнений:

$$-(x+3{)}^2=2x-a$$ $$-x^2-8x-9+a=0$$ $$x^2+8x+9-a=0$$

Данное уравнение будет иметь единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть

$$D=64-4\cdot 1\cdot (9-a)=0$$ $$28+4a=0$$ $$a=-7$$

Значит, случай I достигается при $a=-7\text{.}$

Найдём значение параметра $a\text{,}$ при котором происходит касание прямой $y=2x-a$ с правой ветвью параболы $y=(x+3{)}^2\text{,}$ приравняв правые части их уравнений:

$$(x+3{)}^2=2x-a$$ $$x^2+4x+9+a=0$$

Данное уравнение будет иметь единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть

$$D=16-4\cdot 1\cdot (9+a)=0$$ $$-20-4a=0$$ $$a=-5$$

Значит, случай II достигается при $a=-5\text{.}$

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения при

$$a\in \{-7;-5\}.$$