Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x+3)|x+3| = 2x - a имеет два различных решения.
Пусть f(x) = (x+3)|x+3|, g(x) = 2x - a. Заметим, что функция g(x) задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, которая двигается вверх-вниз в зависимости от параметра a. Рассмотрим функцию f(x) и раскроем модуль по определению: f(x) = cases (x+3)^2 & при x -3 -(x+3)^2 & при x < -3 cases Заметим, что y = (x+3)^2 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в точке (-3;0), а y = -(x+3)^2 задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной в точке (-3;0). Будем двигать прямую y = 2x - a, изменяя значение параметра a от -inf до +inf. Случай I. Прямая касается левой ветви параболы y = -(x+3)^2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). До случая I прямая имеет одну точку пересечения. Случай II. Прямая касается правой ветви параболы y = (x+3)^2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). Между случаями I и II прямая имеет три общие точки с графиком. После данного положения прямая будет иметь одну точку пересечения. Найдём значение параметра a, при котором происходит касание прямой y = 2x - a с левой ветвью параболы y = -(x+3)^2, приравняв правые части их уравнений: -(x+3)^2 = 2x - a -x^2 - 8x - 9 + a = 0 x^2 + 8x + 9 - a = 0 Данное уравнение будет иметь единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть D = 64 - 4 * 1 * (9 - a) = 0 28 + 4a = 0 a = -7 Значит, случай I достигается при a = -7. Найдём значение параметра a, при котором происходит касание прямой y = 2x - a с правой ветвью параболы y = (x+3)^2, приравняв правые части их уравнений: (x+3)^2 = 2x - a x^2 + 4x + 9 + a = 0 Данное уравнение будет иметь единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть D = 16 - 4 * 1 * (9 + a) = 0 -20 - 4a = 0 a = -5 Значит, случай II достигается при a = -5. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения при a in -7;-5.
\(a \in \{-7;\, -5\}\)