Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x * |x| - 2x = ax + a + 2 имеет единственное решение.
Пусть f(x) = x * |x|, g(x) = ax + 2x + a + 2. Преобразуем функцию g(x): g(x) = (a + 2) * x + (a + 2) = (a + 2)(x + 1). Заметим, что функция g(x) задаёт пучок прямых с фиксированной точкой (-1;0). Рассмотрим функцию f(x) = x * |x| и раскроем модуль по определению: f(x) = cases x^2 & при x 0, -x^2 & при x < 0. cases График функции f(x) представляет собой правую ветвь параболы y = x^2 при x 0 и левую ветвь параболы y = -x^2 при x < 0. Начнём вращать прямую от вертикального положения против часовой стрелки. Случай I. Прямая из пучка касается левой ветви параболы y = -x^2. В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x). До случая I прямая из пучка имеет одну точку пересечения, после данного случая прямая будет иметь три общие точки с графиком. Найдём значение параметра a, при котором происходит касание прямой y = (a + 2)(x + 1) с левой ветвью параболы y = -x^2, приравняв правые части их уравнений. Тогда имеем: -x^2 = (a + 2) * x + (a + 2) -x^2 - (a + 2) * x - (a + 2) = 0 x^2 + (a + 2) * x + (a + 2) = 0 Это уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю: D = (a + 2)^2 - 4 * 1 * (a + 2) = 0 (a + 2)(a + 2 - 4) = 0 (a + 2)(a - 2) = 0 a_1 = -2, a_2 = 2 Так как в данном положении прямая возрастает, то есть a + 2 > 0, то случай I достигается при a = 2. Таким образом, a in (-inf;2).
\(a \in (-\infty;\, 2)\)