Задача №18517

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x\cdot |x|-2x=ax+a+2$$

имеет единственное решение.

Пусть $f(x)=x\cdot |x|\text{,}$ $g(x)=ax+2x+a+2\text{.}$ Преобразуем функцию $g(x)\text{:}$

$$g(x)=(a+2)\cdot x+(a+2)=(a+2)(x+1).$$

Заметим, что функция $g(x)$ задаёт пучок прямых с фиксированной точкой $(-1;0)\text{.}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x\cdot |x|$ и раскроем модуль по определению:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{при }x⩾0,\\ -x^2& \text{при }x<0.\end{array}$$

График функции $f(x)$ представляет собой правую ветвь параболы $y=x^2$ при $x⩾0$ и левую ветвь параболы $y=-x^2$ при $x<0\text{.}$

Начнём вращать прямую от вертикального положения против часовой стрелки.

Случай I. Прямая из пучка касается левой ветви параболы $y=-x^2\text{.}$ В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком $f(x)\text{.}$ До случая I прямая из пучка имеет одну точку пересечения, после данного случая прямая будет иметь три общие точки с графиком.

Найдём значение параметра $a\text{,}$ при котором происходит касание прямой $y=(a+2)(x+1)$ с левой ветвью параболы $y=-x^2\text{,}$ приравняв правые части их уравнений. Тогда имеем:

$$-x^2=(a+2)\cdot x+(a+2)$$ $$-x^2-(a+2)\cdot x-(a+2)=0$$ $$x^2+(a+2)\cdot x+(a+2)=0$$

Это уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:

$$D=(a+2{)}^2-4\cdot 1\cdot (a+2)=0$$ $$(a+2)(a+2-4)=0$$ $$(a+2)(a-2)=0$$ $$a_1=-2,a_2=2$$

Так как в данном положении прямая возрастает, то есть $a+2>0\text{,}$ то случай I достигается при $a=2\text{.}$ Таким образом,

$$a\in (-\infty ;2).$$