Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x * |x| - 2x = ax - a - 2 имеет единственное решение.
Пусть f(x) = x * |x| , g(x) = ax + 2x - a - 2 . Преобразуем функцию g(x) : g(x) = (a + 2) * x - (a + 2) = (a + 2)(x - 1). Заметим, что функция g(x) задаёт пучок прямых с фиксированной точкой (1; 0) . Рассмотрим функцию f(x) = x * |x| и раскроем модуль по определению. f(x) = cases x^2 & при x 0 -x^2 & при x < 0 cases Изобразим график получившейся функции (кубическая парабола: правая ветвь y=x^2 при x 0, левая ветвь y=-x^2 при x<0). Начнём вращать прямую от вертикального положения против часовой стрелки. Случай I. Прямая из пучка касается правой ветви параболы y = x^2 . В этом положении прямая имеет две общие точки с графиком f(x) . До случая I прямая из пучка имеет одну точку пересечения, после данного случая прямая будет иметь три общие точки с графиком. Найдём значение параметра a , при котором происходит касание прямой y = (a + 2)(x - 1) с правой ветвью параболы y = x^2 , приравняв правые части их уравнений. x^2 = (a + 2) * x - (a + 2) x^2 - (a + 2) * x + (a + 2) = 0 D = (a + 2)^2 - 4 * 1 * (a + 2) = 0 (a + 2)(a + 2 - 4) = 0 (a + 2)(a - 2) = 0 a_1 = -2, a_2 = 2 Так как в данном положении прямая возрастает, то есть a + 2 > 0 , значит, случай I достигается при a = 2 . Таким образом, a in (-inf; 2).
\( a \in (-\infty; 2) \)