Задача №18515

Преобразуем исходное уравнение:

$$x\cdot |x|=ax+a+4+4x$$ $$x\cdot |x|=a(x+1)+4(x+1)$$ $$x\cdot |x|=(a+4)(x+1)$$

Пусть $f(x)=x\cdot |x|\text{.}$ Раскроем модуль:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩾0\\ -x^2,& x<0\end{array}$$

Пусть $g(x)=(a+4)(x+1)\text{.}$ Это пучок прямых, проходящих через точку $(-1;0)\text{.}$ Изобразим данные графики в системе координат $xOy\text{.}$

Заметим, что единственное граничное положение — случай, когда прямая из пучка касается графика функции $f(x)\text{.}$ Действительно,

• при увеличении параметра $a$ прямая будет вращаться против часовой стрелки и тем самым будет гарантированно иметь общую точку с левой частью графика функции $f(x)\text{.}$ Более того, так как при увеличении параметра $a$ прямая стремится к вертикальному положению, но не достигает его, то она всегда имеет общую точку с правой частью графика функции $f(x)\text{.}$

• При уменьшении параметра $a$ прямая будет вращаться по часовой стрелке и тем самым, будет иметь только одну общую точку с левой частью графика функции $f(x)\text{.}$

В положении касания же графики имеют две общие точки.

Найдем значение параметра, при котором достигается касание прямой с левой частью графика функции $f(x)\text{.}$ Левая часть графика функции $f(x)$ задается как $-x^2\text{.}$ Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания, тогда получаем систему

$$\{\begin{array}{l}(a+4)(x_0+1)=-x_0^2\\ a+4=-2x_0\end{array}$$ $$-2x_0\cdot (x_0+1)=-x_0^2$$ $$-2x_0^2-2x_0=-x_0^2$$ $$-x_0^2-2x_0=0$$ $$x_0(x_0+2)=0$$

Таким образом, возможны две точки касания при $x_0=-2$ и при $x_0=0\text{.}$ Но так как нас интересует касание с левой частью, то $x_0=-2\text{.}$ Тогда

$$a=-2\cdot (-2)-4=0$$

Итог:

$$a\in (-\infty ;0)$$