Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x * |x| - 4x = ax + a + 4 имеет единственное решение.
Преобразуем исходное уравнение: x * |x| = ax + a + 4 + 4x x * |x| = a(x + 1) + 4(x + 1) x * |x| = (a + 4)(x + 1) Пусть f(x) = x * |x| . Раскроем модуль: f(x) = cases x^2, & x 0 -x^2, & x < 0 cases Пусть g(x) = (a + 4)(x + 1) . Это пучок прямых, проходящих через точку (-1; 0). Изобразим данные графики в системе координат xOy. Заметим, что единственное граничное положение -- случай, когда прямая из пучка касается графика функции f(x). Действительно, - при увеличении параметра a прямая будет вращаться против часовой стрелки и тем самым будет гарантированно иметь общую точку с левой частью графика функции f(x). Более того, так как при увеличении параметра a прямая стремится к вертикальному положению, но не достигает его, то она всегда имеет общую точку с правой частью графика функции f(x). - При уменьшении параметра a прямая будет вращаться по часовой стрелке и тем самым, будет иметь только одну общую точку с левой частью графика функции f(x). В положении касания же графики имеют две общие точки. Найдем значение параметра, при котором достигается касание прямой с левой частью графика функции f(x). Левая часть графика функции f(x) задается как -x^2. Пусть x_0 -- абсцисса точки касания, тогда получаем систему cases (a + 4)(x_0 + 1) = -x_0^2 a + 4 = -2x_0 cases -2x_0 * (x_0 + 1) = -x_0^2 -2x_0^2 - 2x_0 = -x_0^2 -x_0^2 - 2x_0 = 0 x_0(x_0 + 2) = 0 Таким образом, возможны две точки касания при x_0 = -2 и при x_0 = 0. Но так как нас интересует касание с левой частью, то x_0 = -2. Тогда a = -2 * (-2) - 4 = 0 Итог: a in (-inf; 0)
\( a \in (-\infty; 0) \)