Задача №18514

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$x\cdot |x|=ax-x-2$$

имеет единственное решение.

Пусть $f(x)=x\cdot |x|\text{,}$ $g(x)=ax-x-2\text{.}$ Преобразуем функцию $g(x)\text{:}$

$$g(x)=(a-1)\cdot x-2.$$

Заметим, что функция $g(x)$ задаёт пучок прямых с фиксированной точкой $(0;-2)\text{.}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x\cdot |x|$ и раскроем модуль по определению:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{при }x⩾0,\\ -x^2& \text{при }x<0.\end{array}$$

Изобразим график получившейся функции и будем вращать прямую из пучка от вертикального положения против часовой стрелки.

Левая ветвь параболы ($x<0$) даёт уравнение $-x^2=(a-1)x-2\text{,}$ то есть $x^2+(a-1)x-2=0\text{.}$ Произведение корней равно $-2<0\text{,}$ поэтому при любом $a$ один корень отрицателен, а второй положителен, и левая ветвь всегда даёт ровно одно решение (отрицательный корень).

Правая ветвь параболы ($x⩾0$) даёт уравнение $x^2=(a-1)x-2\text{,}$ то есть число решений на ней меняется. Найдём значение параметра $a\text{,}$ при котором происходит касание прямой $y=(a-1)\cdot x-2$ с правой ветвью параболы $y=x^2\text{,}$ приравняв правые части их уравнений:

$$x^2=(a-1)\cdot x-2,$$ $$x^2-(a-1)\cdot x+2=0,$$ $$D=(a-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=0,$$ $$a^2-2a-7=0,$$ $$D=4+28=32,$$ $$a_1=\frac{2+\sqrt{32}}{2}=1+2\sqrt{2},a_2=\frac{2-\sqrt{32}}{2}=1-2\sqrt{2}.$$

Так как в данном положении прямая возрастает, то есть $a-1>0\text{,}$ значит, случай касания достигается при $a=1+2\sqrt{2}\text{.}$

При $a<1+2\sqrt{2}$ прямая пересекает правую ветвь в нуле точек, и уравнение имеет ровно одно решение (только на левой ветви). При $a=1+2\sqrt{2}$ добавляется точка касания — решений становится два, а при $a>1+2\sqrt{2}$ — три. Таким образом,

$$a\in \left(-\infty ;1+2\sqrt{2}\right).$$