Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x * |x| = ax - x - 2 имеет единственное решение.
Пусть f(x) = x * |x|, g(x) = ax - x - 2. Преобразуем функцию g(x): g(x) = (a - 1) * x - 2. Заметим, что функция g(x) задаёт пучок прямых с фиксированной точкой (0;-2). Рассмотрим функцию f(x) = x * |x| и раскроем модуль по определению: f(x) = cases x^2 & при x 0, -x^2 & при x < 0. cases Изобразим график получившейся функции и будем вращать прямую из пучка от вертикального положения против часовой стрелки. Левая ветвь параболы (x < 0) даёт уравнение -x^2 = (a-1)x - 2, то есть x^2 + (a-1)x - 2 = 0. Произведение корней равно -2 < 0, поэтому при любом a один корень отрицателен, а второй положителен, и левая ветвь всегда даёт ровно одно решение (отрицательный корень). Правая ветвь параболы (x 0) даёт уравнение x^2 = (a-1)x - 2, то есть число решений на ней меняется. Найдём значение параметра a, при котором происходит касание прямой y = (a-1) * x - 2 с правой ветвью параболы y = x^2, приравняв правые части их уравнений: x^2 = (a-1) * x - 2, x^2 - (a-1) * x + 2 = 0, D = (a-1)^2 - 4 * 1 * 2 = 0, a^2 - 2a - 7 = 0, D = 4 + 28 = 32, a_1 = (2 + sqrt(32))/(2) = 1 + 2sqrt(2), a_2 = (2 - sqrt(32))/(2) = 1 - 2sqrt(2). Так как в данном положении прямая возрастает, то есть a - 1 > 0, значит, случай касания достигается при a = 1 + 2sqrt(2). При a < 1 + 2sqrt(2) прямая пересекает правую ветвь в нуле точек, и уравнение имеет ровно одно решение (только на левой ветви). При a = 1 + 2sqrt(2) добавляется точка касания — решений становится два, а при a > 1 + 2sqrt(2) — три. Таким образом, a in (-inf;1 + 2sqrt(2)).
\(a \in \left(-\infty;\; 1 + 2\sqrt{2}\right)\)