В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH, BN и CK являются высотами. Известно, что AK = 1, BH = 2, а KNH = 60^. а) Докажите, что ABC = 60^. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Обозначим через O точку пересечения высот (ортоцентр) треугольника ABC. а) Рассмотрим четырёхугольник AKHC. Заметим, что AKC = 90^ = AHC. То есть равные углы AKC и AHC опираются на сторону AC. Значит, четырёхугольник AKHC — вписанный. Вписанные углы KAH и KCH опираются на дугу KH, а значит, эти углы равны: KAH = KCH. Рассмотрим четырёхугольник AKON. Заметим, что AKO + ANO = 90^ + 90^ = 180^. То есть противоположные углы AKO и ANO четырёхугольника AKON в сумме дают 180^. Значит, четырёхугольник AKON — вписанный. Вписанные углы KAO и KNO опираются на дугу KO, а значит, эти углы равны: KAO = KNO. Рассмотрим четырёхугольник CNOH. Заметим, что CNO + CHO = 90^ + 90^ = 180^. То есть противоположные углы CNO и CHO четырёхугольника CNOH в сумме дают 180^. Значит, четырёхугольник CNOH — вписанный. Вписанные углы OCH и ONH опираются на дугу OH, а значит, эти углы равны: OCH = ONH. Таким образом, получаем: KNO = KAH = KCH = ONH. Так как углы KNO и ONH равны, то NB — биссектриса угла KNH. Тогда KNB = ( KNH)/(2) = (60^)/(2) = 30^. Из этого получаем: BAH = KNB = 30^. Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABH равна 90^. Тогда ABH = 90^ - BAH = 90^ - 30^ = 60^. Таким образом, угол ABC равен 60^. б) Из доказанного в пункте а) имеем: BAH = BCK = 30^. В прямоугольном треугольнике ABH катет BH напротив угла в 30^ равен половине гипотенузы AB. Тогда AB = 2BH = 2 * 2 = 4. Тогда BK = AB - AK = 4 - 1 = 3. В прямоугольном треугольнике BCK катет BK напротив угла в 30^ равен половине гипотенузы BC. Тогда BC = 2BK = 2 * 3 = 6. По теореме косинусов для треугольника ABC имеем: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos 60^, AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 * 4 * 6 * (1)/(2), AC^2 = 16 + 36 - 24, AC^2 = 28 => AC = 2sqrt(7). Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме синусов для треугольника ABC имеем: (AC)/(sin 60^) = 2R, (2sqrt(7))/((sqrt(3))/(2)) = 2R, R = (2sqrt(7))/(sqrt(3)) = (2sqrt(21))/(3).
\(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)