Свойства биссектрисы и медианыДлина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольникаВписанный угол, опирающийся на диаметрТреугольникОкружность, описанная вокруг треугольника
В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH,BN и CK являются высотами. Известно, что AK=1,BH=2, а ∠KNH=60∘.
а) Докажите, что ∠ABC=60∘.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Обозначим через O точку пересечения высот (ортоцентр) треугольника ABC.
а) Рассмотрим четырёхугольник AKHC. Заметим, что
∠AKC=90∘=∠AHC.
То есть равные углы AKC и AHC опираются на сторону AC. Значит, четырёхугольник AKHC — вписанный. Вписанные углы KAH и KCH опираются на дугу KH, а значит, эти углы равны:
∠KAH=∠KCH.
Рассмотрим четырёхугольник AKON. Заметим, что
∠AKO+∠ANO=90∘+90∘=180∘.
То есть противоположные углы AKO и ANO четырёхугольника AKON в сумме дают 180∘. Значит, четырёхугольник AKON — вписанный. Вписанные углы KAO и KNO опираются на дугу KO, а значит, эти углы равны:
∠KAO=∠KNO.
Рассмотрим четырёхугольник CNOH. Заметим, что
∠CNO+∠CHO=90∘+90∘=180∘.
То есть противоположные углы CNO и CHO четырёхугольника CNOH в сумме дают 180∘. Значит, четырёхугольник CNOH — вписанный. Вписанные углы OCH и ONH опираются на дугу OH, а значит, эти углы равны:
∠OCH=∠ONH.
Таким образом, получаем:
∠KNO=∠KAH=∠KCH=∠ONH.
Так как углы KNO и ONH равны, то NB — биссектриса угла KNH. Тогда
∠KNB=2∠KNH=260∘=30∘.
Из этого получаем:
∠BAH=∠KNB=30∘.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABH равна 90∘. Тогда
∠ABH=90∘−∠BAH=90∘−30∘=60∘.
Таким образом, угол ABC равен 60∘.
б) Из доказанного в пункте а) имеем:
∠BAH=∠BCK=30∘.
В прямоугольном треугольнике ABH катет BH напротив угла в 30∘ равен половине гипотенузы AB. Тогда
AB=2BH=2⋅2=4.
Тогда
BK=AB−AK=4−1=3.
В прямоугольном треугольнике BCK катет BK напротив угла в 30∘ равен половине гипотенузы BC. Тогда
