В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания ABC равна 6, а боковое ребро SA равно 4sqrt(3). Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость alpha содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость alpha делит медиану CE основания пирамиды в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью alpha.
а) Построим сечение пирамиды плоскостью alpha. Так как точки M и N лежат в одной грани, то можем их соединить. Тогда MN — сторона сечения. Известно, что плоскость alpha содержит прямую MN, а также перпендикулярна плоскости основания. Значит, плоскость alpha содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания. Опустим высоту SH пирамиды. Так как пирамида правильная, то H — точка пересечения медиан основания. Пусть E — середина ребра AB, проведём SE. Пусть SE пересекает MN в точке L. В плоскости CSE через точку L проведём прямую, параллельную SH. Пусть она пересечёт CE в точке Q. Тогда LQ перпендикулярно основанию пирамиды и LQ CE. Таким образом, для перпендикулярности плоскости основания плоскость alpha должна содержать LQ. По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях плоскости alpha, ASB и ABC либо пересекаются в одной точке, либо их прямые пересечения попарно параллельны. Заметим, что прямые MN AB, так как отрезок MN — средняя линия треугольника ASB, параллельная стороне AB. Тогда плоскость alpha пересекает плоскость основания по прямой, параллельной AB и MN и проходящей через точку Q. Пусть она пересекает AC в точке R, а BC — в точке O. Тогда MNOR — сечение пирамиды плоскостью alpha. Заметим, что по свойству медиан треугольника CH:HE = 2:1. Пусть CH = 4x, HE = 2x. Рассмотрим ESH. Так как L — середина ES, а также LQ SH, то по теореме Фалеса EQ = QH = x. Таким образом, CQ:QE = 5x:x = 5:1. Что и требовалось доказать. б) Так как AB RO, то CRO CAB, причём коэффициент подобия равен k = (CQ)/(CE) = (5)/(6). Также, так как пирамида правильная, ABC — равносторонний, значит, и CRO — равносторонний. Тогда RO = CR = CO = (5)/(6)AB = 5. Отсюда AR = BO = BC - OC = 1. Также MN — средняя линия треугольника ASB, следовательно, MN = (1)/(2)AB = 3. Теперь найдём MR и NO. Так как SAC = SBC по трём сторонам (SA = SB, AC = BC, SC — общая), то SAC = SBC. Тогда AMR = BNO по двум сторонам и углу между ними: AM = BN, AR = BO, MAR = NBO. Отсюда MR = NO. Пусть SBC = alpha. Найдём , для этого опустим высоту SH' в треугольнике SBC. Так как SBC — равнобедренный с основанием BC, то SH' также является медианой. Тогда BH' = (1)/(2)BC = 3. Следовательно, из прямоугольного треугольника SH'B: = (BH')/(SB) = (3)/(4sqrt(3)) Тогда по теореме косинусов для треугольника NBO: NO^2 = NB^2 + BO^2 - 2* NB* BO* NO^2 = (2sqrt(3))^2 + 1^2 - 2* 2sqrt(3)* 1*(3)/(4sqrt(3)) NO^2 = 12 + 1 - 3 = 10 NO = sqrt(10) Тогда периметр сечения MNOR равен P_(MNOR) = MN + RO + 2* NO = 3 + 5 + 2sqrt(10) = 8 + 2sqrt(10)
\(8 + 2\sqrt{10}\)