Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьПирамидаРасстояние от точки до плоскостиПлощадь сеченияРасстояние между скрещивающимися прямыми
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания ABC равна 36, а боковое ребро SA равно 31. Точки M и N — середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания пирамиды в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
а) Построим сечение пирамиды плоскостью α. Так как точки M и N лежат в одной грани, то можем их соединить. Тогда MN — сторона сечения.
Известно, что плоскость α содержит прямую MN, а также перпендикулярна плоскости основания. Значит, плоскость α содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания.
Опустим высоту SH пирамиды. Так как пирамида правильная, то H — точка пересечения медиан основания. Пусть E — середина ребра AB, проведем SE. Пусть SE пересекает MN в точке L. В плоскости CSE через точку L проведем прямую, параллельную SH. Пусть она пересечет CE в точке Q. Тогда LQ перпендикулярна основанию пирамиды и LQ⊥CE.
Таким образом, для перпендикулярности плоскости основания плоскость α должна содержать LQ.
По теореме о трех попарно пересекающихся плоскостях плоскости α,ASB и ABC либо пересекаются в одной точке, либо их прямые пересечения попарно параллельны. Заметим, что прямые MN∥AB, так как отрезок MN — средняя линия треугольника ASB, параллельная стороне AB. Тогда плоскость α пересекает плоскость основания по прямой, параллельной AB и MN и проходящей через точку Q. Пусть она пересекает AC в точке R, а BC — в точке O. Тогда MNOR — сечение пирамиды плоскостью α.
Заметим, что по свойству медиан треугольника CH:HE=2:1. Пусть CH=4x,HE=2x.
Рассмотрим △ESH. Так как L — середина ES, а также LQ∥SH, то по теореме Фалеса EQ=QH=x.
Таким образом, CQ:QE=5x:x=5:1. Что и требовалось доказать.
б) Так как AB∥RO, то вместо расстояния от вершины A можно искать расстояние от любой точки на прямой AB до плоскости α. Заметим, что EQ⊥RO и QL⊥EQ, тогда длина отрезка EQ и будет искомым расстоянием.
Так как в основании пирамиды равносторонний треугольник, то его высота CE может быть вычислена по формуле:
CE=2AB3CE=183
В силу полученного в пункте а) имеем, что EQ=6CE, тогда EQ=33.
