Задача №18483

Около конуса описана сфера, то есть сфера содержит окружность основания конуса и его вершину. Центр основания конуса совпадает с центром сферы, а образующая конуса равна $24\sqrt{2}\text{.}$ Найдите радиус сферы.

Рассмотрим треугольник $AOB\text{,}$ где точка $O$ — центр сферы, точка $A$ принадлежит окружности основания конуса, точка $B$ — вершина конуса. Тогда $AB$ — это образующая конуса.

Так как центр сферы совпадает с центром основания конуса, то $BO$ — высота конуса и $BO\perp AO\text{.}$ Кроме того, $AO$ и $BO$ — радиусы сферы. Пусть $R$ — радиус сферы, тогда $AO=BO=R\text{.}$

Для прямоугольного треугольника $AOB$ по теореме Пифагора имеем: