В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г. а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г? б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г? в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Введём следующие обозначения: x — количество овощей с массой меньше 1000 г, z — количество овощей с массой ровно 1000 г, y — количество овощей с массой больше 1000 г. По условию общее число овощей равно x+y+z=65. Обозначим суммарную массу всех овощей S. По условию средняя масса всех овощей равна 1000 г, то есть (S)/(65)=1000 => S=65000. Аналогично суммарная масса овощей, которые весят меньше 1000 г, равна 982x, овощей, которые весят больше 1000 г — 1024y, овощей, которые весят 1000 г — 1000z, причём z=65-x-y. Тогда имеет место равенство: 982x+1000z+1024y=65000, 982x+1000(65-x-y)+1024y=65000, -18x+24y=0, 4y=3x. а) Допустим, такое возможно. Тогда x=y, причём 4y=3x. Получаем противоречие, так как x и y не могут равняться нулю. б) Допустим, такое возможно. Тогда z=13 => x+y=65-z=52 => x=52-y. Подставим это в условие 4y=3x: 4y=3(52-y), 7y=156. Так как 156 не делится на 7, то такого целого y не существует, получили противоречие. в) Пусть m — масса наименьшего овоща, очевидно, что этот овощ находится в группе меньших 1000. Максимальный возможный вес овощей в этой группе, при том, что один овощ весит m, равен m+999(x-1). Чтобы пример существовал, эта верхняя граница должна быть не меньше, чем заданная в условии сумма масс овощей в этой группе — 982x. Это необходимое условие, его выполнение не гарантирует существование примера, однако его невыполнение гарантирует, что примера нет. Тогда имеем: m+999(x-1) 982x, m 999-17x. Минимальное допустимое m достигается при максимальном допустимом x. Мы уже знаем, что 4y=3x, из этого следует, что x делится на 4. Обозначим x=4t, тогда y=3t. Получаем оценку: 65 x+y=7t => t 9 => x 36. При x=36 минимальное возможное m=999-17x=387. Пример: один овощ массы 387, 35 овощей массы 999, 2 овоща массы 1000, 27 овощей массы 1024.
а) Нет; б) Нет; в) \(387\) г.