Задача №18473

15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца в размере $S$ рублей (где $S$ — целое число). Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть суммы кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение $r\text{,}$ при котором сумма всех платежей будет превышать сумму кредита меньше чем на 30%.

Пусть $k=1+\frac{r}{100}\text{.}$

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Долг после начисления %» и «Долг после выплаты» за этот месяц:

Сумма всех платежей равна:

$$\sum =(Sk-0,8S)+(0,8Sk-0,6S)+(0,6Sk-0,4S)+0,4Sk=$$ $$=Sk(1+0,8+0,6+0,4)-S(0,8+0,6+0,4)=2,8Sk-1,8S.$$

По условию сумма всех платежей превышает сумму кредита меньше чем на 30%. Тогда

$$2,8Sk-1,8S<1,3S$$ $$28Sk-18S<13S\mid :S>0$$ $$28k-18<13$$ $$28k<31$$ $$k<\frac{31}{28}.$$

Сделаем обратную замену и получим:

$$1+\frac{r}{100}<\frac{31}{28}$$ $$\frac{r}{100}<\frac{3}{28}$$ $$r<\frac{75}{7}$$ $$r<10\frac{5}{7}.$$

По условию $r$ — целое число. Наибольшее подходящее целое $r$ равно $10\text{.}$