15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца в размере S рублей (где S — целое число). Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть суммы кредита в соответствии со следующей таблицей: | Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | |---|---|---|---|---|---| | Долг (в % от кредита) | 100% | 80% | 60% | 40% | 0% | Найдите наибольшее значение r, при котором сумма всех платежей будет превышать сумму кредита меньше чем на 30%.
Пусть k = 1 + (r)/(100). Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Долг после начисления %» и «Долг после выплаты» за этот месяц: | Дата | Долг до начисления % | Долг после начисления % | Выплата | Долг после выплаты | |---|---|---|---|---| | 15.02 | S | Sk | Sk - 0,8S | 0,8S | | 15.03 | 0,8S | 0,8Sk | 0,8Sk - 0,6S | 0,6S | | 15.04 | 0,6S | 0,6Sk | 0,6Sk - 0,4S | 0,4S | | 15.05 | 0,4S | 0,4Sk | 0,4Sk - 0 | 0 | Сумма всех платежей равна: = (Sk - 0,8S) + (0,8Sk - 0,6S) + (0,6Sk - 0,4S) + 0,4Sk = = Sk(1 + 0,8 + 0,6 + 0,4) - S(0,8 + 0,6 + 0,4) = 2,8Sk - 1,8S. По условию сумма всех платежей превышает сумму кредита меньше чем на 30%. Тогда 2,8Sk - 1,8S < 1,3S 28Sk - 18S < 13S : S > 0 28k - 18 < 13 28k < 31 k < (31)/(28). Сделаем обратную замену и получим: 1 + (r)/(100) < (31)/(28) (r)/(100) < (3)/(28) r < (75)/(7) r < 10(5)/(7). По условию r — целое число. Наибольшее подходящее целое r равно 10.
\(10\)