Задача №18472

15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца в размере $S$ рублей (где $S$ — целое число). Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть суммы кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение $r\text{,}$ при котором сумма всех платежей будет превышать сумму кредита меньше чем на 25%.

Пусть $k=1+\frac{r}{100}\text{.}$

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Долг после начисления %» и «Долг после выплаты» за этот месяц:

Сумма всех платежей равна:

$$\sum =(Sk-0,6S)+(0,6Sk-0,3S)+(0,3Sk-0,1S)+0,1Sk=$$ $$=Sk(1+0,6+0,3+0,1)-S(0,6+0,3+0,1)=2Sk-S.$$

По условию сумма всех платежей превышает сумму кредита меньше чем на 25%. Тогда

$$2Sk-S<1,25S$$ $$2Sk<2,25S|:S>0$$ $$2k<2,25$$ $$k<1,125.$$

Сделаем обратную замену и получим:

$$1+\frac{r}{100}<1,125$$ $$\frac{r}{100}<0,125$$ $$r<12,5.$$

По условию $r$ — целое число. Наибольшее подходящее целое $r$ равно $12\text{.}$