Задача №18471

Решите неравенство

$$\frac{25x^2-80x+64}{{\log }_8(4^x-32)-{\log }_8{2}^{x+2}}⩽0.$$

Запишем ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-32>0\\ 2^{x+2}>0\\ {\log }_8(4^x-32)-{\log }_8{2}^{x+2}\ne 0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}{2}^{2x}>2^5\\ 4^x-32\ne 2^{x+2}\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x>\frac{5}{2}\\ 4^x-4\cdot 2^x-32\ne 0\end{array}$$

Преобразуем неравенство на ОДЗ:

$$\frac{(5x-8{)}^2}{{\log }_8\left(\frac{4^x-32}{2^{x+2}}\right)}⩽0$$

Так как на ОДЗ $x>\frac{5}{2}\text{,}$ то $5x-8>\frac{25}{2}-8>0\text{.}$ Следовательно, $(5x-8{)}^2>0\text{.}$ Значит, на ОДЗ можем разделить неравенство на множитель $(5x-8{)}^2\text{:}$

$$\frac{1}{{\log }_8\left(\frac{4^x-32}{2^{x+2}}\right)}⩽0$$

Также на ОДЗ $4^x-32>0\text{,}$ $2^{x+2}>0$ и $4^x-32\ne 2^{x+2}\text{,}$ поэтому аргумент логарифма положителен и не равен 1. Тогда можем воспользоваться свойством логарифма $\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a\text{:}$

$${\log }_{\frac{4^x-32}{2^{x+2}}}8⩽0$$

По методу рационализации получаем:

$$\left(\frac{4^x-32}{2^{x+2}}-1\right)(8-1)⩽0$$ $$\frac{4^x-4\cdot 2^x-32}{2^{x+2}}⩽0|\cdot 2^{x+2}>0$$ $$4^x-4\cdot 2^x-32⩽0$$

Сразу учтем второе условие из ОДЗ:

$$4^x-4\cdot 2^x-32<0$$

Сделаем замену $2^x=t\text{.}$ Тогда получим:

$$t^2-4t-32<0$$ $$(t+4)(t-8)<0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов: решением является $-4<t<8\text{.}$

В силу того, что $t>0\text{,}$ при обратной замене получим:

$$0<t<8$$ $$2^x<2^3$$ $$x<3$$

Тогда с учетом ОДЗ получаем:

$$x\in \left(\frac{5}{2};3\right)$$