Решите неравенство (25x^2 - 80x + 64)/(_8 (4^x - 32) - _8 2^(x+2)) 0.
Запишем ОДЗ: cases 4^x - 32 > 0 2^(x+2) > 0 _8 (4^x - 32) - _8 2^(x+2) != 0 cases cases 2^(2x) > 2^5 4^x - 32 != 2^(x+2) cases cases x > (5)/(2) 4^x - 4 * 2^x - 32 != 0 cases Преобразуем неравенство на ОДЗ: ((5x-8)^2)/(_8 ( 4^x - 322^(x+2) )) 0 Так как на ОДЗ x > (5)/(2) , то 5x - 8 > (25)/(2) - 8 > 0 . Следовательно, (5x-8)^2 > 0 . Значит, на ОДЗ можем разделить неравенство на множитель (5x-8)^2 : (1)/(_8 ( 4^x - 322^(x+2) )) 0 Также на ОДЗ 4^x - 32 > 0 , 2^(x+2) > 0 и 4^x - 32 != 2^(x+2) , поэтому аргумент логарифма положителен и не равен 1. Тогда можем воспользоваться свойством логарифма (1)/(_a b) = _b a : _((4^x - 32)/(2^(x+2))) 8 0 По методу рационализации получаем: ( (4^x - 32)/(2^(x+2)) - 1 )(8 - 1) 0 (4^x - 4 * 2^x - 32)/(2^(x+2)) 0 | * 2^(x+2) > 0 4^x - 4 * 2^x - 32 0 Сразу учтем второе условие из ОДЗ: 4^x - 4 * 2^x - 32 < 0 Сделаем замену 2^x = t . Тогда получим: t^2 - 4t - 32 < 0 (t + 4)(t - 8) < 0 Решим полученное неравенство методом интервалов: решением является -4 < t < 8 . В силу того, что t > 0 , при обратной замене получим: 0 < t < 8 2^x < 2^3 x < 3 Тогда с учетом ОДЗ получаем: x in ( (5)/(2); 3 )
\( \left( \dfrac{5}{2}; 3 \right) \)