Задача №18470

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_4\left(4^x-128\right)-{\log }_4{2}^{x+3}}{25x^2-180x+324}⩽0.$$

Запишем ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-128>0\\ 2^{x+3}>0\\ 25x^2-180x+324\ne 0\end{array}\{\begin{array}{l}{2}^{2x}>2^7\\ (5x-18{)}^2\ne 0\end{array}\{\begin{array}{l}x>3,5\\ x\ne 3,6\end{array}$$

Тогда ОДЗ:

$$x\in (3,5;3,6)\cup (3,6;+\infty ).$$

Преобразуем исходное неравенство по методу рационализации:

$$\frac{{\log }_4\left(4^x-128\right)-{\log }_4{2}^{x+3}}{25x^2-180x+324}⩽0,$$ $$\frac{(4-1)\left(4^x-128-2^{x+3}\right)}{(5x-18{)}^2}⩽0,$$ $$\frac{4^x-8\cdot 2^x-128}{(5x-18{)}^2}⩽0.$$

На ОДЗ это неравенство равносильно:

$$4^x-8\cdot 2^x-128⩽0.$$

Сделаем замену $t=2^x>0\text{:}$

$$t^2-8t-128⩽0,$$ $$(t-16)(t+8)⩽0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим:

$$-8⩽t⩽16.$$

В силу того, что $t>0\text{,}$ обратная замена имеет вид:

$$0<2^x⩽16,$$ $$x⩽4.$$

Тогда с учётом ОДЗ:

$$x\in (3,5;3,6)\cup (3,6;4].$$