Решите неравенство (_4(4^x - 128) - _4 2^(x+3))/(25x^2 - 180x + 324) 0.
Запишем ОДЗ: cases 4^x - 128 > 0 2^(x+3) > 0 25x^2 - 180x + 324 != 0 cases cases 2^(2x) > 2^7 (5x - 18)^2 != 0 cases cases x > 3,5 x != 3,6 cases Тогда ОДЗ: x in (3,5;3,6) U (3,6;+inf). Преобразуем исходное неравенство по методу рационализации: (_4(4^x - 128) - _4 2^(x+3))/(25x^2 - 180x + 324) 0, ((4 - 1)(4^x - 128 - 2^(x+3)))/((5x - 18)^2) 0, (4^x - 8 * 2^x - 128)/((5x - 18)^2) 0. На ОДЗ это неравенство равносильно: 4^x - 8 * 2^x - 128 0. Сделаем замену t = 2^x > 0: t^2 - 8t - 128 0, (t - 16)(t + 8) 0. Решим полученное неравенство методом интервалов и получим: -8 t 16. В силу того, что t > 0, обратная замена имеет вид: 0 < 2^x 16, x 4. Тогда с учётом ОДЗ: x in (3,5;3,6) U (3,6;4].
\((3{,}5;\, 3{,}6) \cup (3{,}6;\, 4]\)