Задача №18469

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_8\left(4^x-2\right)-{\log }_8{2}^x}{100x^2-140x+49}⩽0.$$

Запишем ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}{4}^x-2>0\\ 2^x>0\\ 100x^2-140x+49\ne 0\end{array}\{\begin{array}{l}{2}^{2x}>2^1\\ (10x-7{)}^2\ne 0\end{array}\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x\ne \frac{7}{10}\end{array}$$

Тогда ОДЗ:

$$x\in \left(\frac{1}{2};\frac{7}{10}\right)\cup \left(\frac{7}{10};+\infty \right)$$

На ОДЗ преобразуем неравенство. Так как на ОДЗ знаменатель строго положителен, то можем домножить на него:

$${\log }_8\left(4^x-2\right)-{\log }_8{2}^x⩽0$$ $${\log }_8\frac{4^x-2}{2^x}⩽0$$

Так как основание логарифма больше единицы, то получаем:

$$\frac{4^x-2}{2^x}⩽1$$ $$\frac{4^x-2}{2^x}-\frac{2^x}{2^x}⩽0$$ $$\frac{2^{2x}-2^x-2}{2^x}⩽0$$

Пусть $t=2^x\text{.}$ Тогда

$$\frac{t^2-t-2}{t}⩽0$$ $$\frac{(t+1)(t-2)}{t}⩽0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Знаки выражения по промежуткам: на $(-\infty ;-1)$ минус, на $(-1;0)$ плюс, на $(0;2)$ минус, на $(2;+\infty )$ плюс (точки $t=-1$ и $t=2$ включаются, $t=0$ выколота).

В силу того, что $t>0\text{,}$ обратная замена имеет вид:

$$t⩽2$$ $$2^x⩽2^1$$ $$x⩽1$$

Тогда с учётом ОДЗ:

$$x\in \left(\frac{1}{2};\frac{7}{10}\right)\cup \left(\frac{7}{10};1\right]$$