а) Решите уравнение sin 2x + 2sqrt(2)*cos(x + (pi)/(4)) - 1 = 0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7pi; -(11pi)/(2)].
Способ 1. а) Преобразуем выражение в левой части с помощью формул синуса двойного угла, формулы косинуса суммы и ОТТ: sin 2alpha = 2** cos(alpha + beta) = * - * sin^2alpha + cos^2alpha = 1 Получим: 2sin x*cos x + 2sqrt(2)(cos x*cos(pi)/(4) - sin x*sin(pi)/(4)) - 1 = 0 2sin x*cos x + 2sqrt(2)*(sqrt(2))/(2)*(cos x - sin x) - 1 = 0 2sin x*cos x + 2(cos x - sin x) - (sin^2 x + cos^2 x) = 0 Тогда -(cos^2 x - 2sin x*cos x + sin^2 x) + 2(cos x - sin x) = 0 -(cos x - sin x)^2 + 2(cos x - sin x) = 0 (cos x - sin x)*(-cos x + sin x + 2) = 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, полученное уравнение равносильно совокупности: [arrayl cos x - sin x = 0 -cos x + sin x + 2 = 0 array. <=> [arrayl cos x - sin x = 0 cos x - sin x = 2 array. <=> [arrayl sin x = cos x (sqrt(2))/(2)cos x - (sqrt(2))/(2)sin x = sqrt(2) array. <=> [arrayl tg x = 1 cos(x + (pi)/(4)) = sqrt(2) array. Решением первого уравнения совокупности является серия корней x = (pi)/(4) + pi k, k in Z. Решим второе уравнение совокупности: cos(x + (pi)/(4)) = sqrt(2) > 1. Данное уравнение не имеет решений, так как -1 cos(x + (pi)/(4)) 1. Тогда решением исходного уравнения является серия решений: x = (pi)/(4) + pi k, k in Z. б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [-7pi; -(11pi)/(2)], концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а). Следовательно, на отрезке [-7pi; -(11pi)/(2)] лежат точки -(27pi)/(4) и -(23pi)/(4).
а) \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\); \quad б) \(-\dfrac{27\pi}{4};\ -\dfrac{23\pi}{4}\).