Задача №18468

Способ 1.

а) Преобразуем выражение в левой части с помощью формул синуса двойного угла, формулы косинуса суммы и ОТТ:

$$\sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$$ $$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$$ $${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Получим:

$$2\sin x\cdot \cos x+2\sqrt{2}\left(\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{4}\right)-1=0$$ $$2\sin x\cdot \cos x+2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos x-\sin x)-1=0$$ $$2\sin x\cdot \cos x+2(\cos x-\sin x)-\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=0$$

Тогда

$$-\left({\cos }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x+{\sin }^{2}x\right)+2(\cos x-\sin x)=0$$ $$-(\cos x-\sin x{)}^2+2(\cos x-\sin x)=0$$ $$(\cos x-\sin x)\cdot (-\cos x+\sin x+2)=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, полученное уравнение равносильно совокупности:

$$[\begin{array}{l}\cos x-\sin x=0\\ -\cos x+\sin x+2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x-\sin x=0\\ \cos x-\sin x=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\cos x\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=1\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\end{array}$$

Решением первого уравнения совокупности является серия корней

$$x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Решим второе уравнение совокупности:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}>1.$$

Данное уравнение не имеет решений, так как $-1⩽\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)⩽1\text{.}$

Тогда решением исходного уравнения является серия решений:

$$x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-7\pi ;-\frac{11\pi }{2}\right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $\left[-7\pi ;-\frac{11\pi }{2}\right]$ лежат точки $-\frac{27\pi }{4}$ и $-\frac{23\pi }{4}\text{.}$