Задача №18467

а) Решите уравнение $\sin 2x+\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-1=0\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]\text{.}$

а) Преобразуем выражение в левой части с помощью формул синуса двойного угла, формулы косинуса суммы и основного тригонометрического тождества:

$$\sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$$ $$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$$ $${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Получим:

$$2\sin x\cdot \cos x+\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{4}-1=0$$ $$2\sin x\cdot \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos x-\sin x)-1=0$$ $$2\sin x\cdot \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos x-\sin x)-\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=0$$

Тогда

$$-\left({\cos }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x+{\sin }^{2}x\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos x-\sin x)=0$$ $$-(\cos x-\sin x{)}^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\cos x-\sin x)=0$$ $$(\cos x-\sin x)\cdot \left(-\cos x+\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, полученное уравнение равносильно совокупности:

$$[\begin{array}{l}\cos x-\sin x=0\\ -\cos x+\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}=0\end{array}$$ $$[\begin{array}{l}\cos x-\sin x=0\\ \cos x-\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$ $$[\begin{array}{l}\sin x=\cos x\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{1}{2}\end{array}$$ $$[\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=1\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\end{array}$$

Решением первого уравнения совокупности является серия корней

$$x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Решим второе уравнение совокупности:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$$ $$[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$$ $$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{7\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Тогда решением исходного уравнения являются три серии решений:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{7\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ на отрезке лежит точка $-\frac{15\pi }{4}$ (при $k=-4$).

Из серии $x=\frac{\pi }{12}+2\pi k$ на отрезке лежит точка $-\frac{47\pi }{12}$ (при $k=-2\text{,}$ так как $\frac{\pi }{12}-4\pi =-\frac{47\pi }{12}$).

Из серии $x=-\frac{7\pi }{12}+2\pi k$ на данный отрезок точки не попадают.

Следовательно, на отрезке $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ лежат точки $-\frac{15\pi }{4}$ и $-\frac{47\pi }{12}\text{.}$