Задача №18467 — Уравнения (Математика (профиль) ЕГЭ)

а) Решите уравнение sin 2x + cos(x + (pi)/(4)) - 1 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-(9pi)/(2);-3pi].

а) Преобразуем выражение в левой части с помощью формул синуса двойного угла, формулы косинуса суммы и основного тригонометрического тождества: sin 2alpha = 2 * sin alpha * cos alpha cos (alpha + beta) = cos alpha * cos beta - sin alpha * sin beta sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 Получим: 2sin x * cos x + cos x * cos (pi)/(4) - sin x * sin (pi)/(4) - 1 = 0 2sin x * cos x + (sqrt(2))/(2) * (cos x - sin x) - 1 = 0 2sin x * cos x + (sqrt(2))/(2) * (cos x - sin x) - (sin^2 x + cos^2 x) = 0 Тогда -(cos^2 x - 2sin x * cos x + sin^2 x) + (sqrt(2))/(2) * (cos x - sin x) = 0 -(cos x - sin x)^2 + (sqrt(2))/(2) * (cos x - sin x) = 0 (cos x - sin x) * (-cos x + sin x + (sqrt(2))/(2)) = 0 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, полученное уравнение равносильно совокупности: [arrayl cos x - sin x = 0 -cos x + sin x + (sqrt(2))/(2) = 0 array. [arrayl cos x - sin x = 0 cos x - sin x = (sqrt(2))/(2) array. [arrayl sin x = cos x (sqrt(2))/(2)cos x - (sqrt(2))/(2)sin x = (1)/(2) array. [arrayl tg x = 1 cos(x + (pi)/(4)) = (1)/(2) array. Решением первого уравнения совокупности является серия корней x = (pi)/(4) + pi k, k in Z. Решим второе уравнение совокупности: cos(x + (pi)/(4)) = (1)/(2) [arrayl x + (pi)/(4) = (pi)/(3) + 2pi k, k in Z x + (pi)/(4) = -(pi)/(3) + 2pi k, k in Z array. [arrayl x = (pi)/(12) + 2pi k, k in Z x = -(7pi)/(12) + 2pi k, k in Z array. Тогда решением исходного уравнения являются три серии решений: [arrayl x = (pi)/(4) + pi k, k in Z x = (pi)/(12) + 2pi k, k in Z x = -(7pi)/(12) + 2pi k, k in Z array. б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [-(9pi)/(2);-3pi], концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а). Из серии x = (pi)/(4) + pi k на отрезке лежит точка -(15pi)/(4) (при k = -4). Из серии x = (pi)/(12) + 2pi k на отрезке лежит точка -(47pi)/(12) (при k = -2, так как (pi)/(12) - 4pi = -(47pi)/(12)). Из серии x = -(7pi)/(12) + 2pi k на данный отрезок точки не попадают. Следовательно, на отрезке [-(9pi)/(2);-3pi] лежат точки -(15pi)/(4) и -(47pi)/(12).

а) \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\); \(\ \dfrac{\pi}{12} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\); \(\ -\dfrac{7\pi}{12} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\). б) \(-\dfrac{15\pi}{4},\ -\dfrac{47\pi}{12}\).