а) Решите уравнение sin 2x + 2sqrt(2)sin(x - (pi)/(4)) - 1 = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5pi; -(7pi)/(2)] .
а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла, синуса разности и ОТТ: sin 2x = 2sin x cos x, 2sqrt(2)sin(x - (pi)/(4)) = 2sqrt(2)(sin x cos(pi)/(4) - cos x sin(pi)/(4)) = 2(sin x - cos x), 1 = sin^2 x + cos^2 x. Тогда 2sin x cos x + 2(sin x - cos x) - (sin^2 x + cos^2 x) = 0, (-sin^2 x + 2sin x cos x - cos^2 x) + 2(sin x - cos x) = 0, -(sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x) + 2(sin x - cos x) = 0, -(sin x - cos x)^2 + 2(sin x - cos x) = 0, (sin x - cos x)(-(sin x - cos x) + 2) = 0. Получаем совокупность: [ arrayl sin x - cos x = 0, -(sin x - cos x) + 2 = 0. array . 1. Если sin x - cos x = 0 , то sin x = cos x |:cos x != 0, tg x = 1, x = (pi)/(4) + pi k, k in Z. 2. Если -(sin x - cos x) + 2 = 0 , то sin x - cos x = 2, sqrt(2)sin(x - (pi)/(4)) = 2, sin(x - (pi)/(4)) = sqrt(2), x in , так как sqrt(2) > 1. Итак, x = (pi)/(4) + pi k, k in Z . б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [-5pi; -(7pi)/(2)] , концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а). Найдём значения k , при которых -5pi (pi)/(4) + pi k -(7pi)/(2) : -(21)/(4) k -(15)/(4), откуда k = -5 и k = -4 . При k = -5 : x = (pi)/(4) - 5pi = -(19pi)/(4) . При k = -4 : x = (pi)/(4) - 4pi = -(15pi)/(4) . Следовательно, на отрезке [-5pi; -(7pi)/(2)] лежат точки -(19pi)/(4); -(15pi)/(4) .
а) \( \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \).
б) \( -\dfrac{19\pi}{4};\ -\dfrac{15\pi}{4} \).