Задача №18465

а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла, синуса разности и ОТТ:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ $$2\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=2(\sin x-\cos x),$$ $$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x.$$

Тогда

$$2\sin x\cos x+2(\sin x-\cos x)-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=0,$$ $$\left(-{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x\right)+2(\sin x-\cos x)=0,$$ $$-\left({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)+2(\sin x-\cos x)=0,$$ $$-(\sin x-\cos x{)}^2+2(\sin x-\cos x)=0,$$ $$(\sin x-\cos x)(-(\sin x-\cos x)+2)=0.$$

Получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}\sin x-\cos x=0,\\ -(\sin x-\cos x)+2=0.\end{array}$$

1. Если $\sin x-\cos x=0\text{,}$ то

$$\sin x=\cos x|:\cos x\ne 0,$$ $$\mathrm{tg}x=1,$$ $$x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2. Если $-(\sin x-\cos x)+2=0\text{,}$ то

$$\sin x-\cos x=2,$$ $$\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2,$$ $$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2},$$ $$x\in \varnothing ,\text{так как }\sqrt{2}>1.$$

Итак, $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а).

Найдём значения $k\text{,}$ при которых $-5\pi ⩽\frac{\pi }{4}+\pi k⩽-\frac{7\pi }{2}\text{:}$

$$-\frac{21}{4}⩽k⩽-\frac{15}{4},$$

откуда $k=-5$ и $k=-4\text{.}$

При $k=-5\text{:}$ $x=\frac{\pi }{4}-5\pi =-\frac{19\pi }{4}\text{.}$

При $k=-4\text{:}$ $x=\frac{\pi }{4}-4\pi =-\frac{15\pi }{4}\text{.}$

Следовательно, на отрезке $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ лежат точки $-\frac{19\pi }{4};-\frac{15\pi }{4}\text{.}$