а) Решите уравнение sin 2x + 2sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) + 1 = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-(11pi)/(2);-4pi] .
Способ 1. а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла, синуса суммы и основного тригонометрического тождества: sin 2x = 2sin x cos x, 2sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = 2sqrt(2)(sin x cos(pi)/(4) + cos x sin(pi)/(4)) = 2(sin x + cos x), 1 = sin^2 x + cos^2 x. Тогда 2sin x cos x + 2(sin x + cos x) + sin^2 x + cos^2 x = 0 (sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x) + 2(sin x + cos x) = 0 (sin x + cos x)^2 + 2(sin x + cos x) = 0 (sin x + cos x)(sin x + cos x + 2) = 0 [arrayl sin x + cos x = 0 sin x + cos x + 2 = 0 array. 1. Если sin x + cos x = 0 , то sin x = -cos x |: cos x != 0 tg x = -1 x = -(pi)/(4) + pi k, k in Z. 2. Если sin x + cos x + 2 = 0 , то sin x + cos x = -2 sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = -2 sin(x + (pi)/(4)) = -sqrt(2) x in , так как -sqrt(2) < -1. Способ 2. а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла и синуса суммы: sin 2x = 2sin x cos x, 2sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = 2(sin x + cos x). Тогда 2sin x cos x + 2(sin x + cos x) + 1 = 0. Пусть t = sin x + cos x . Тогда t^2 = sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x = 1 + 2sin x cos x. Отсюда получаем 2sin x cos x = t^2 - 1. Подставим в исходное уравнение: (t^2 - 1) + 2t + 1 = 0 t^2 + 2t = 0 t(t + 2) = 0 [arrayl t = 0 t = -2 array. 1. Если t = 0 , то sin x + cos x = 0 => tg x = -1 => x = -(pi)/(4) + pi k, k in Z. 2. Если t = -2 , то sin(x + (pi)/(4)) = -sqrt(2), x in , так как -sqrt(2) < -1. Способ 3. Пусть t = x + (pi)/(4) . Тогда 2x = 2(t - (pi)/(4)) = 2t - (pi)/(2) . Получаем уравнение sin(2t - (pi)/(2)) + 2sqrt(2)sin t + 1 = 0 -cos 2t + 2sqrt(2)sin t + 1 = 0 2sin^2 t - 1 + 2sqrt(2)sin t + 1 = 0 2sin^2 t + 2sqrt(2)sin t = 0 sin t * (sin t + sqrt(2)) = 0 [arrayl sin t = 0 sin t = -sqrt(2) array. Так как -sqrt(2) < -1 sin t 1 , то полученная совокупность равносильна уравнению sin t = 0 => t = pi k, k in Z => x + (pi)/(4) = pi k => x = -(pi)/(4) + pi k, k in Z. б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [-(11pi)/(2);-4pi] , концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а). На отрезке [-(11pi)/(2);-4pi] лежат точки -(21pi)/(4); -(17pi)/(4) .
а) \( -\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \)
б) \( -\dfrac{21\pi}{4};\ -\dfrac{17\pi}{4} \)