Задача №18464

Способ 1.

а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла, синуса суммы и основного тригонометрического тождества:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ $$2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=2(\sin x+\cos x),$$ $$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x.$$

Тогда

$$2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=0$$ $$\left({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)+2(\sin x+\cos x)=0$$ $$(\sin x+\cos x{)}^2+2(\sin x+\cos x)=0$$ $$(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+2)=0$$ $$[\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0\\ \sin x+\cos x+2=0\end{array}$$

1. Если $\sin x+\cos x=0\text{,}$ то

$$\sin x=-\cos x|:\cos x\ne 0$$ $$\mathrm{tg}x=-1$$ $$x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2. Если $\sin x+\cos x+2=0\text{,}$ то

$$\sin x+\cos x=-2$$ $$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-2$$ $$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}$$ $$x\in \varnothing ,\text{так как }-\sqrt{2}<-1.$$

Способ 2.

а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла и синуса суммы:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ $$2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2(\sin x+\cos x).$$

Тогда

$$2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)+1=0.$$

Пусть $t=\sin x+\cos x\text{.}$ Тогда

$$t^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x.$$

Отсюда получаем

$$2\sin x\cos x=t^2-1.$$

Подставим в исходное уравнение:

$$(t^2-1)+2t+1=0$$ $$t^2+2t=0$$ $$t(t+2)=0$$ $$[\begin{array}{l}t=0\\ t=-2\end{array}$$

1. Если $t=0\text{,}$ то

$$\sin x+\cos x=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2. Если $t=-2\text{,}$ то

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2},x\in \varnothing ,\text{так как }-\sqrt{2}<-1.$$

Способ 3.

Пусть $t=x+\frac{\pi }{4}\text{.}$ Тогда $2x=2\left(t-\frac{\pi }{4}\right)=2t-\frac{\pi }{2}\text{.}$

Получаем уравнение

$$\sin \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)+2\sqrt{2}\sin t+1=0$$ $$-\cos 2t+2\sqrt{2}\sin t+1=0$$ $$2{\sin }^{2}t-1+2\sqrt{2}\sin t+1=0$$ $$2{\sin }^{2}t+2\sqrt{2}\sin t=0$$ $$\sin t\cdot \left(\sin t+\sqrt{2}\right)=0$$ $$[\begin{array}{l}\sin t=0\\ \sin t=-\sqrt{2}\end{array}$$

Так как $-\sqrt{2}<-1⩽\sin t⩽1\text{,}$ то полученная совокупность равносильна уравнению

$$\sin t=0\Rightarrow t=\pi k,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=\pi k\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-\frac{11\pi }{2};-4\pi \right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а).

На отрезке $\left[-\frac{11\pi }{2};-4\pi \right]$ лежат точки $-\frac{21\pi }{4};-\frac{17\pi }{4}\text{.}$