Задача №18459

Найдите точку максимума функции $y=(9-x)\cdot e^{x-8}\text{.}$

Функция определена при всех $x\in \mathbb{R}\text{.}$ Исследуем функцию и найдём её промежутки возрастания и убывания, для этого найдём её производную:

Найдём нули производной:

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдём знаки производной на каждом из таких промежутков: на $(-\infty ;8)$ производная положительна («$+$»), на $(8;+\infty )$ — отрицательна («$-$»).

При $x\in (-\infty ;8)$ производная положительна, то есть функция $y=y(x)$ возрастает; при $x\in (8;+\infty )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x=8$ является точкой максимума.