В прямой треугольной призме ABCA_1B_1C_1 в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом B и с катетами, равными 10. Боковые рёбра призмы равны 10. На рёбрах AA_1 и CC_1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM=3, CN=2. а) Докажите, что плоскость MNB_1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны. б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B. Так как угол B прямой, направим оси по катетам и боковому ребру: B=(0;0;0), A=(10;0;0), C=(0;10;0), B_1=(0;0;10), A_1=(10;0;10), C_1=(0;10;10). Объём всей призмы равен V_(ABCA_1B_1C_1)=S_(ABC)* AA_1=(AB* BC)/(2)* AA_1=(10* 10)/(2)* 10=500. а) Точка M лежит на ребре AA_1, причём AM=3; точка N лежит на ребре CC_1, причём CN=2. Плоскость MNB_1 делит призму на два многогранника: пирамиду B_1A_1C_1NM (над сечением) и многогранник B_1MNBAC (под сечением). Найдём объём пирамиды B_1A_1C_1NM с вершиной B_1 и основанием — трапецией A_1C_1NM. Так как призма прямая, B_1B(ABC) и B_1A_1 AA_1, B_1C_1 CC_1; ребро B_1B перпендикулярно граням ACC_1A_1. Высота пирамиды из B_1 на плоскость ACC_1A_1 равна высоте треугольника A_1B_1C_1, опущенной на гипотенузу A_1C_1. По теореме Пифагора AC=sqrt(AB^2+BC^2)=sqrt(10^2+10^2)=10sqrt(2), значит A_1C_1=10sqrt(2). Высота равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу равна половине гипотенузы и одновременно B_1H=(10)/(sqrt(2))=5sqrt(2). Основание — трапеция A_1C_1NM с боковыми сторонами A_1M и C_1N на боковых рёбрах. Так как AM=3, CN=2, то A_1M=AA_1-AM=10-3=7, C_1N=CC_1-CN=10-2=8. Площадь трапеции (A_1C_1 — высота между параллельными боковыми рёбрами): S_(A_1C_1NM)=(A_1M+C_1N)/(2)* A_1C_1=(7+8)/(2)* 10sqrt(2)=75sqrt(2). Тогда V_(B_1A_1C_1NM)=(1)/(3)S_(A_1C_1NM)* B_1H=(1)/(3)* 75sqrt(2)* 5sqrt(2)=250. Значит, объём второго многогранника тоже равен 500-250=250, то есть плоскость делит призму на две равновеликие части. Что и требовалось доказать. б) Найдём объём тетраэдра MNBB_1 с координатами M=(10;0;3), N=(0;10;2), B=(0;0;0), B_1=(0;0;10). Объём вычислим через смешанное произведение векторов BM=(10;0;3), BN=(0;10;2), BB_1=(0;0;10): V=(1)/(6)|BM*(BN*BB_1)|. BN*BB_1=(10* 10-2* 0; 2* 0-0* 10; 0* 0-10* 0)=(100;0;0), BM*(100;0;0)=10* 100=1000, V=(1000)/(6)=(500)/(3). Ответ: (500)/(3).

\(\dfrac{500}{3}\)