Задача №18437

В прямой треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом $B$ и с катетами, равными $10\text{.}$ Боковые рёбра призмы равны $10\text{.}$ На рёбрах $A{A}_1$ и $C{C}_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=3\text{,}$ $CN=2\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $MN{B}_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $MNB{B}_1\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B\text{.}$ Так как угол $B$ прямой, направим оси по катетам и боковому ребру:

$$B=(0;0;0),A=(10;0;0),C=(0;10;0),$$ $$B_1=(0;0;10),A_1=(10;0;10),C_1=(0;10;10).$$

Объём всей призмы равен

$$V_{ABC{A}_1{B}_1{C}_1}=S_{ABC}\cdot A{A}_1=\frac{AB\cdot BC}{2}\cdot A{A}_1=\frac{10\cdot 10}{2}\cdot 10=500.$$

а) Точка $M$ лежит на ребре $A{A}_1\text{,}$ причём $AM=3\text{;}$ точка $N$ лежит на ребре $C{C}_1\text{,}$ причём $CN=2\text{.}$ Плоскость $MN{B}_1$ делит призму на два многогранника: пирамиду $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ (над сечением) и многогранник $B_{1}MNBAC$ (под сечением).

Найдём объём пирамиды $B_1{A}_1{C}_{1}NM$ с вершиной $B_1$ и основанием — трапецией $A_1{C}_{1}NM\text{.}$ Так как призма прямая, $B_{1}B\perp (ABC)$ и $B_1{A}_1\perp A{A}_1\text{,}$ $B_1{C}_1\perp C{C}_1\text{;}$ ребро $B_{1}B$ перпендикулярно граням $AC{C}_1{A}_1\text{.}$ Высота пирамиды из $B_1$ на плоскость $AC{C}_1{A}_1$ равна высоте треугольника $A_1{B}_1{C}_1\text{,}$ опущенной на гипотенузу $A_1{C}_1\text{.}$

По теореме Пифагора $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\text{,}$ значит $A_1{C}_1=10\sqrt{2}\text{.}$ Высота равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу равна половине гипотенузы и одновременно

$$B_{1}H=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}.$$

Основание — трапеция $A_1{C}_{1}NM$ с боковыми сторонами $A_{1}M$ и $C_{1}N$ на боковых рёбрах. Так как $AM=3\text{,}$ $CN=2\text{,}$ то

$$A_{1}M=A{A}_1-AM=10-3=7,C_{1}N=C{C}_1-CN=10-2=8.$$

Площадь трапеции ($A_1{C}_1$ — высота между параллельными боковыми рёбрами):

$$S_{A_1{C}_{1}NM}=\frac{A_{1}M+C_{1}N}{2}\cdot A_1{C}_1=\frac{7+8}{2}\cdot 10\sqrt{2}=75\sqrt{2}.$$

Тогда

$$V_{B_1{A}_1{C}_{1}NM}=\frac{1}{3}{S}_{A_1{C}_{1}NM}\cdot B_{1}H=\frac{1}{3}\cdot 75\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=250.$$

Значит, объём второго многогранника тоже равен $500-250=250\text{,}$ то есть плоскость делит призму на две равновеликие части. Что и требовалось доказать.

б) Найдём объём тетраэдра $MNB{B}_1$ с координатами

$$M=(10;0;3),N=(0;10;2),B=(0;0;0),B_1=(0;0;10).$$

Объём вычислим через смешанное произведение векторов $\overrightarrow{BM}=(10;0;3)\text{,}$ $\overrightarrow{BN}=(0;10;2)\text{,}$ $\overrightarrow{B{B}_1}=(0;0;10)\text{:}$

$$V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{BM}\cdot (\overrightarrow{BN}\times \overrightarrow{B{B}_1})\right|.$$ $$\overrightarrow{BN}\times \overrightarrow{B{B}_1}=(10\cdot 10-2\cdot 0;2\cdot 0-0\cdot 10;0\cdot 0-10\cdot 0)=(100;0;0),$$ $$\overrightarrow{BM}\cdot (100;0;0)=10\cdot 100=1000,V=\frac{1000}{6}=\frac{500}{3}.$$

Ответ: $\frac{500}{3}\text{.}$