Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 80 и не больше 170. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться. а) Может ли быть 40 различных элементов в последовательности? б) Может ли быть 80 различных элементов в последовательности? в) Найдите наибольшее количество различных элементов последовательности.

а) Да, может. Приведём пример: 158, 156, 154, , 84, 82, 80. Здесь каждый элемент на 2 меньше предыдущего. б) Да, может. Приведём пример: 159, 157, 155, , 85, 83, 81, 162, 160, 158, , 88, 86, 84. Здесь первые 40 элементов получены из числа 159 уменьшением на 2, 41-й элемент получен умножением 40-го на 2, остальные 39 чисел получены уменьшением предыдущего на 2. в) Начнём составлять последовательность следующим образом: 169, 167, 165, , 89, 87, 85. Так мы набрали все подходящие нечётные числа, кроме 83 и 81. Если после 85 взять 170, после чего пройти по всем чётным числам уменьшением предыдущего на 2, то мы потеряем два числа 83 и 81, то есть получим 89 чисел в последовательности. Тогда продолжим последовательность так: , 85, 83, 81, 162, 160, 158, , 84, 82, 80. На данный момент пропущены числа 170, 168, 166 и 164. Продолжим последовательность: , 80, 160, 158, 156, , 88, 86, 84, 168, 166, 164. Таким образом, мы получили 90 различных чисел: все, кроме 170. Если бы число 170 было в последовательности, то после него обеими операциями мы бы получали только чётные числа: вычитая 2 из чётного числа, получим чётное, а все числа, кратные чётным, — тоже чётные. Так как 170 не могло получиться из другого числа уменьшением на 2, то оно могло получиться только из 85 умножением на 2. Значит, вариант появления 170 в последовательности был полностью рассмотрен выше. Тогда наибольшее количество различных чисел в последовательности равно 90, а последовательность имеет вид: 169, 167, 165, , 85, 83, 81, 162, 160, 158, , , 84, 82, 80, 160, 158, 156, , 88, 86, 84, 168, 166, 164.

а) Да; б) Да; в) \(90\).