В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что отрезки AM и MK равны. б) Найдите MK, если AB = 3, AC = 5.

а) Так как HM является высотой прямоугольного треугольника AHC, то AHM MCH и AHM = HCM. Более того, четырёхугольник AHKM — вписанный, так как HKA = 90^ = HMA. Следовательно, AHM = AKM как углы, опирающиеся на одну сторону AM этого четырёхугольника. Далее, так как ABC равнобедренный, то BCA = BAC. Таким образом, имеем: KAM = BAC = BCA = HCM = AHM = AKM. Значит, KAM = AKM, то есть AKM равнобедренный и AM = MK. Что и требовалось доказать. б) Опустим высоту BP в ABC. Тогда AP = PC = 2,5. Тогда из прямоугольного BPC: cos BCP = (PC)/(BC), cos BCP = (2,5)/(3) = (5)/(6). Отсюда по основному тригонометрическому тождеству получаем: sin BCP = (sqrt(11))/(6). Тогда в прямоугольном AHC: sin ACH = (AH)/(AC), (sqrt(11))/(6) = (AH)/(5), AH = (5sqrt(11))/(6). Так как AHM = ACH, то из прямоугольного AHM: sin AHM = (AM)/(AH), (sqrt(11))/(6) = (AM)/(1) * (6)/(5sqrt(11)), AM = (55)/(36). Поскольку MK = AM, получаем MK = (55)/(36).

\(MK = \dfrac{55}{36}\)