Задача №18411

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH\text{.}$ Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK\text{,}$ если $AB=3\text{,}$ $AC=5\text{.}$

а) Так как $HM$ является высотой прямоугольного треугольника $AHC\text{,}$ то $△AHM\sim △MCH$ и $\angle AHM=\angle HCM\text{.}$

Более того, четырёхугольник $AHKM$ — вписанный, так как $\angle HKA=90^{\circ }=\angle HMA\text{.}$ Следовательно, $\angle AHM=\angle AKM$ как углы, опирающиеся на одну сторону $AM$ этого четырёхугольника.

Далее, так как $△ABC$ равнобедренный, то $\angle BCA=\angle BAC\text{.}$

Таким образом, имеем:

$$\angle KAM=\angle BAC=\angle BCA=\angle HCM=\angle AHM=\angle AKM.$$

Значит, $\angle KAM=\angle AKM\text{,}$ то есть $△AKM$ равнобедренный и $AM=MK\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Опустим высоту $BP$ в $△ABC\text{.}$ Тогда $AP=PC=2,5\text{.}$

Тогда из прямоугольного $△BPC\text{:}$

$$\cos \angle BCP=\frac{PC}{BC},\cos \angle BCP=\frac{2,5}{3}=\frac{5}{6}.$$

Отсюда по основному тригонометрическому тождеству получаем:

$$\sin \angle BCP=\frac{\sqrt{11}}{6}.$$

Тогда в прямоугольном $△AHC\text{:}$

$$\sin \angle ACH=\frac{AH}{AC},\frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{AH}{5},AH=\frac{5\sqrt{11}}{6}.$$

Так как $\angle AHM=\angle ACH\text{,}$ то из прямоугольного $△AHM\text{:}$

$$\sin \angle AHM=\frac{AM}{AH},$$ $$\frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{AM}{1}\cdot \frac{6}{5\sqrt{11}},$$ $$AM=\frac{55}{36}.$$

Поскольку $MK=AM\text{,}$ получаем $MK=\frac{55}{36}\text{.}$