Задача №18409

Запишем ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}x>0\\ \frac{x}{1-x}>0\\ 9x^2+\frac{1}{x}-4>0\end{array}$$

Решим второе неравенство из ОДЗ методом интервалов. Выражение $\frac{x}{1-x}$ положительно на интервале между нулями числителя и знаменателя: при $x=0$ и $x=1$ меняется знак, и на $(0;1)$ дробь положительна. Получим:

$$x\in (0;1).$$

Заметим, что полученный интервал удовлетворяет и первому неравенству из ОДЗ ($x>0$).

Преобразуем исходное неравенство. Так как $2{\log }_3\left(x\sqrt{3}\right)={\log }_3\left(3x^2\right)\text{,}$ имеем:

$${\log }_3\left(\frac{3x^2\cdot (1-x)}{x}\right)⩽{\log }_3\left(9x^2+\frac{1}{x}-4\right).$$

Основание логарифма $3>1\text{,}$ поэтому переходим к сравнению аргументов, сократив $\frac{3x^2}{x}=3x\text{:}$

$$3x(1-x)⩽9x^2+\frac{1}{x}-4.$$

Так как $x\in (0;1)\text{,}$ то левая часть всегда положительна, а значит, $9x^2+\frac{1}{x}-4>0\text{.}$ Тогда все условия ОДЗ выполнены.

Поскольку $x\in (0;1)\text{,}$ то можем домножить неравенство на $x\text{,}$ сохранив знак неравенства:

$$3x-3x^2⩽9x^2+\frac{1}{x}-4,$$ $$3x^2-3x^3⩽9x^3+1-4x,$$ $$12x^3-3x^2-4x+1⩾0,$$ $$3x^2\cdot (4x-1)-(4x-1)⩾0,$$ $$(4x-1)\cdot \left(3x^2-1\right)⩾0,$$ $$(4x-1)\cdot \left(x\sqrt{3}-1\right)\cdot \left(x\sqrt{3}+1\right)⩾0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули множителей: $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{,}$ $x=\frac{1}{4}\text{,}$ $x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{.}$ Расставив знаки, получаем, что неравенство выполнено при

$$x\in \left[-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty \right).$$

По ОДЗ $x\in (0;1)\text{.}$ Пересечём полученные значения $x$ с ОДЗ:

$$x\in \left(0;\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3};1\right).$$