Решите неравенство 2_3(xsqrt(3)) - _3((x)/(1-x)) _3(9x^2 + (1)/(x) - 4).

Запишем ОДЗ: cases x > 0 (x)/(1-x) > 0 9x^2 + (1)/(x) - 4 > 0 cases Решим второе неравенство из ОДЗ методом интервалов. Выражение (x)/(1-x) положительно на интервале между нулями числителя и знаменателя: при x = 0 и x = 1 меняется знак, и на (0;1) дробь положительна. Получим: x in (0;1). Заметим, что полученный интервал удовлетворяет и первому неравенству из ОДЗ (x > 0). Преобразуем исходное неравенство. Так как 2_3(xsqrt(3)) = _3(3x^2), имеем: _3((3x^2 * (1-x))/(x)) _3(9x^2 + (1)/(x) - 4). Основание логарифма 3 > 1, поэтому переходим к сравнению аргументов, сократив (3x^2)/(x) = 3x: 3x(1-x) 9x^2 + (1)/(x) - 4. Так как x in (0;1), то левая часть всегда положительна, а значит, 9x^2 + (1)/(x) - 4 > 0. Тогда все условия ОДЗ выполнены. Поскольку x in (0;1), то можем домножить неравенство на x, сохранив знак неравенства: 3x - 3x^2 9x^2 + (1)/(x) - 4, 3x^2 - 3x^3 9x^3 + 1 - 4x, 12x^3 - 3x^2 - 4x + 1 0, 3x^2 * (4x - 1) - (4x - 1) 0, (4x - 1) * (3x^2 - 1) 0, (4x - 1) * (xsqrt(3) - 1) * (xsqrt(3) + 1) 0. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули множителей: x = -(sqrt(3))/(3), x = (1)/(4), x = (sqrt(3))/(3). Расставив знаки, получаем, что неравенство выполнено при x in [-(sqrt(3))/(3);(1)/(4)] U [(sqrt(3))/(3);+inf). По ОДЗ x in (0;1). Пересечём полученные значения x с ОДЗ: x in (0;(1)/(4)] U [(sqrt(3))/(3);1).

\(x \in \left(0;\,\dfrac{1}{4}\right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{3}}{3};\,1\right)\)