Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |1 - 6sqrt(x)| = 2(x + a) имеет ровно два корня.

Рассмотрим в координатной плоскости графики функций y = |1 - 6sqrt(x)| (при x >= 0) и y = 2(x + a). Число корней уравнения равно числу общих точек этих графиков. График y = |1 - 6sqrt(x)| состоит из двух дуг с «углом» в точке ((1)/(36);0): y = 1 - 6sqrt(x) при 0 <= x <= (1)/(36) (убывает от (0;1) до ((1)/(36);0)), y = 6sqrt(x) - 1 при x >= (1)/(36) (возрастает, выпукла вверх, от 0 до +inf). Прямая y = 2(x + a) = 2x + 2a имеет постоянный угловой коэффициент 2; при изменении a она движется параллельно самой себе (вверх при увеличении a). Касание правой дуги. Угловой коэффициент дуги y = 6sqrt(x) - 1 равен y' = (3)/(sqrt(x)). Прямая касается дуги там, где (3)/(sqrt(x)) = 2, то есть при x = (9)/(4); тогда y = 6*(3)/(2) - 1 = 8. Уравнение касательной: y = 2x + (7)/(2), что отвечает 2a = (7)/(2), то есть a = (7)/(4). Так как дуга выпукла вверх, при a < (7)/(4) прямая пересекает правую дугу в двух точках, при a = (7)/(4) — в одной, при a > (7)/(4) — ни в одной. Характерные положения прямой. Через точку (0;1) прямая проходит при 2a = 1, то есть a = (1)/(2); через «угол» ((1)/(36);0) — при 2*(1)/(36) + 2a = 0, то есть a = -(1)/(36). Левую убывающую дугу прямая с угловым коэффициентом 2 пересекает не более одного раза, причём ровно тогда, когда она проходит ниже точки (0;1), но выше «угла», то есть при -(1)/(36) < a < (1)/(2). Подсчёт общих точек (по мере уменьшения a): — при a > (7)/(4) общих точек нет; — при a = (7)/(4) — одна (касание правой дуги); — при (1)/(2) < a < (7)/(4) прямая лежит выше точки (0;1), левую дугу не задевает и пересекает правую дугу в двух точках — ровно две общие точки; — при a = (1)/(2) прямая проходит через (0;1) и ещё дважды пересекает правую дугу — три; — при -(1)/(36) < a < (1)/(2) прямая один раз пересекает левую дугу и дважды правую — три; — при a = -(1)/(36) прямая проходит через «угол» ((1)/(36);0) и ещё раз пересекает правую дугу — ровно две общие точки; — при a < -(1)/(36) прямая пересекает только правую дугу в одной точке — одна. Таким образом, уравнение имеет ровно два корня при a in ((1)/(2); (7)/(4)) U -(1)/(36).

\(a \in \left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{7}{4}\right) \cup \left\{-\dfrac{1}{36}\right\}\)