Задача №18405

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\left|1-6\sqrt{x}\right|=2(x+a)$$

имеет ровно два корня.

Рассмотрим в координатной плоскости графики функций $y=\left|1-6\sqrt{x}\right|$ (при $x\ge 0$) и $y=2(x+a)\text{.}$ Число корней уравнения равно числу общих точек этих графиков.

График $y=\left|1-6\sqrt{x}\right|$ состоит из двух дуг с «углом» в точке $\left(\frac{1}{36};0\right)\text{:}$

$$y=1-6\sqrt{x}\text{ при }0\le x\le \frac{1}{36}(\text{убывает от }(0;1)\text{ до }(\frac{1}{36};0)),$$ $$y=6\sqrt{x}-1\text{ при }x\ge \frac{1}{36}(\text{возрастает, выпукла вверх, от }0\text{ до }+\infty ).$$

Прямая $y=2(x+a)=2x+2a$ имеет постоянный угловой коэффициент $2\text{;}$ при изменении $a$ она движется параллельно самой себе (вверх при увеличении $a$).

Касание правой дуги. Угловой коэффициент дуги $y=6\sqrt{x}-1$ равен $y^{\prime }=\frac{3}{\sqrt{x}}\text{.}$ Прямая касается дуги там, где $\frac{3}{\sqrt{x}}=2\text{,}$ то есть при $x=\frac{9}{4}\text{;}$ тогда $y=6\cdot \frac{3}{2}-1=8\text{.}$ Уравнение касательной: $y=2x+\frac{7}{2}\text{,}$ что отвечает $2a=\frac{7}{2}\text{,}$ то есть $a=\frac{7}{4}\text{.}$ Так как дуга выпукла вверх, при $a<\frac{7}{4}$ прямая пересекает правую дугу в двух точках, при $a=\frac{7}{4}$ — в одной, при $a>\frac{7}{4}$ — ни в одной.

Характерные положения прямой. Через точку $(0;1)$ прямая проходит при $2a=1\text{,}$ то есть $a=\frac{1}{2}\text{;}$ через «угол» $\left(\frac{1}{36};0\right)$ — при $2\cdot \frac{1}{36}+2a=0\text{,}$ то есть $a=-\frac{1}{36}\text{.}$ Левую убывающую дугу прямая с угловым коэффициентом $2$ пересекает не более одного раза, причём ровно тогда, когда она проходит ниже точки $(0;1)\text{,}$ но выше «угла», то есть при $-\frac{1}{36}<a<\frac{1}{2}\text{.}$

Подсчёт общих точек (по мере уменьшения $a$):

— при $a>\frac{7}{4}$ общих точек нет;

— при $a=\frac{7}{4}$ — одна (касание правой дуги);

— при $\frac{1}{2}<a<\frac{7}{4}$ прямая лежит выше точки $(0;1)\text{,}$ левую дугу не задевает и пересекает правую дугу в двух точках — ровно две общие точки;

— при $a=\frac{1}{2}$ прямая проходит через $(0;1)$ и ещё дважды пересекает правую дугу — три;

— при $-\frac{1}{36}<a<\frac{1}{2}$ прямая один раз пересекает левую дугу и дважды правую — три;

— при $a=-\frac{1}{36}$ прямая проходит через «угол» $\left(\frac{1}{36};0\right)$ и ещё раз пересекает правую дугу — ровно две общие точки;

— при $a<-\frac{1}{36}$ прямая пересекает только правую дугу в одной точке — одна.

Таким образом, уравнение имеет ровно два корня при $a\in \left(\frac{1}{2};\frac{7}{4}\right)\cup \left\{-\frac{1}{36}\right\}\text{.}$