В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB=BC проведена высота AH из вершины A к прямой, содержащей сторону BC (её основание H лежит на продолжении стороны BC за точку B). Из точки H опущены перпендикуляры HK и HM на прямые AB и AC, где K и M — основания этих перпендикуляров соответственно. а) Докажите, что AM=MK. б) Найдите MK, если AB=13, AC=24.

Обозначим угол при основании BAC= BCA=alpha. Так как треугольник равнобедренный, ABC=180^-2alpha, и при тупом угле B основание высоты H лежит на продолжении CB за точку B. а) По построению AKH=90^ (так как HK AB) и AMH=90^ (так как HM AC). Значит, точки K и M видят отрезок AH под прямым углом, поэтому точки A, K, H, M лежат на одной окружности с диаметром AH. Найдём вписанные углы, опирающиеся на хорды AM и MK. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMH с прямым углом при M. В нём AHM=90^- MAH. Луч AM лежит на прямой AC, а HAC=90^-alpha (поскольку AH BC, а угол между BC и AC равен alpha). Следовательно, AHM=90^-(90^-alpha)=alpha. С другой стороны, HK AB и HM AC, поэтому угол между прямыми HK и HM равен углу между прямыми AB и AC, то есть KHM= BAC=alpha. Итак, в окружности с диаметром AH вписанные углы AHM и KHM равны (=alpha). Равные вписанные углы опираются на равные хорды, поэтому AM=MK. Что и требовалось доказать. б) Пусть AB=BC=13, AC=24. Высота треугольника из вершины B на основание AC равна h_B=sqrt(AB^2-((AC)/(2))^2)=sqrt(13^2-12^2)=5, откуда =(AC/2)/(AB)=(12)/(13), =(5)/(13). Найдём высоту AH. В прямоугольном треугольнике ABH ( AHB=90^) угол ABH — внешний угол при вершине B треугольника ABC, равный 2alpha. Поэтому AH=AB*sin ABH=AB*sin 2alpha=13* 2=13* 2*(5)/(13)*(12)/(13)=(120)/(13). Найдём AM. В прямоугольном треугольнике AMH ( AMH=90^) угол MAH= HAC=90^-alpha, поэтому AM=AH*cos MAH=AH*cos(90^-alpha)=AH*=(120)/(13)*(5)/(13)=(600)/(169). По доказанному в пункте а) MK=AM, значит MK=(600)/(169). Ответ: MK=(600)/(169).

\(MK=\dfrac{600}{169}\)