Задача №18404

В тупоугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$ проведена высота $AH$ из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$ (её основание $H$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$). Из точки $H$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ на прямые $AB$ и $AC\text{,}$ где $K$ и $M$ — основания этих перпендикуляров соответственно.

а) Докажите, что $AM=MK\text{.}$

б) Найдите $MK\text{,}$ если $AB=13\text{,}$ $AC=24\text{.}$

Обозначим угол при основании $\angle BAC=\angle BCA=\alpha \text{.}$ Так как треугольник равнобедренный, $\angle ABC=180^{\circ }-2\alpha \text{,}$ и при тупом угле $B$ основание высоты $H$ лежит на продолжении $CB$ за точку $B\text{.}$

а) По построению $\angle AKH=90^{\circ }$ (так как $HK\perp AB$) и $\angle AMH=90^{\circ }$ (так как $HM\perp AC$). Значит, точки $K$ и $M$ видят отрезок $AH$ под прямым углом, поэтому точки $A,K,H,M$ лежат на одной окружности с диаметром $AH\text{.}$

Найдём вписанные углы, опирающиеся на хорды $AM$ и $MK\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$ с прямым углом при $M\text{.}$ В нём

$$\angle AHM=90^{\circ }-\angle MAH.$$

Луч $AM$ лежит на прямой $AC\text{,}$ а $\angle HAC=90^{\circ }-\alpha$ (поскольку $AH\perp BC\text{,}$ а угол между $BC$ и $AC$ равен $\alpha$). Следовательно,

$$\angle AHM=90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

С другой стороны, $HK\perp AB$ и $HM\perp AC\text{,}$ поэтому угол между прямыми $HK$ и $HM$ равен углу между прямыми $AB$ и $AC\text{,}$ то есть

$$\angle KHM=\angle BAC=\alpha .$$

Итак, в окружности с диаметром $AH$ вписанные углы $\angle AHM$ и $\angle KHM$ равны ($=\alpha$). Равные вписанные углы опираются на равные хорды, поэтому

$$AM=MK.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=BC=13\text{,}$ $AC=24\text{.}$ Высота треугольника из вершины $B$ на основание $AC$ равна

$$h_B=\sqrt{A{B}^2-{\left(\frac{AC}{2}\right)}^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5,$$

откуда

$$\cos \alpha =\frac{AC/2}{AB}=\frac{12}{13},\sin \alpha =\frac{5}{13}.$$

Найдём высоту $AH\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$) угол $\angle ABH$ — внешний угол при вершине $B$ треугольника $ABC\text{,}$ равный $2\alpha \text{.}$ Поэтому

$$AH=AB\cdot \sin \angle ABH=AB\cdot \sin 2\alpha =13\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha =13\cdot 2\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{12}{13}=\frac{120}{13}.$$

Найдём $AM\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AMH$ ($\angle AMH=90^{\circ }$) угол $\angle MAH=\angle HAC=90^{\circ }-\alpha \text{,}$ поэтому

$$AM=AH\cdot \cos \angle MAH=AH\cdot \cos (90^{\circ }-\alpha )=AH\cdot \sin \alpha =\frac{120}{13}\cdot \frac{5}{13}=\frac{600}{169}.$$

По доказанному в пункте а) $MK=AM\text{,}$ значит

$$MK=\frac{600}{169}.$$

Ответ: $MK=\frac{600}{169}\text{.}$