Задача №18402

Решите неравенство:

$$2{\log }_7\left(\sqrt{2}x\right)-{\log }_7\left(\frac{x}{1-x}\right)\le {\log }_7\left(8x^2+\frac{1}{x}-5\right).$$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что под знаком каждого логарифма должно стоять положительное выражение:

$$\sqrt{2}x>0,\frac{x}{1-x}>0,8x^2+\frac{1}{x}-5>0.$$

Из первых двух условий получаем $x>0$ и $0<x<1\text{,}$ то есть совместно

$$0<x<1.$$

Третье условие $8x^2+\frac{1}{x}-5>0$ пока учтём отдельно (см. ниже — оно окажется следствием самого неравенства).

Преобразуем левую часть. Так как на ОДЗ $x>0\text{,}$ верно ${\log }_7{\left(\sqrt{2}x\right)}^2=2{\log }_7\left(\sqrt{2}x\right)\text{,}$ поэтому

$$2{\log }_7\left(\sqrt{2}x\right)-{\log }_7\left(\frac{x}{1-x}\right)={\log }_7\frac{{\left(\sqrt{2}x\right)}^2}{\frac{x}{1-x}}={\log }_7\frac{2x^2(1-x)}{x}={\log }_7(2x(1-x)).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_7(2x(1-x))\le {\log }_7\left(8x^2+\frac{1}{x}-5\right).$$

Основание логарифма $7>1\text{,}$ функция ${\log }_{7}t$ возрастает, поэтому неравенство равносильно (при положительных аргументах)

$$2x(1-x)\le 8x^2+\frac{1}{x}-5.$$

Перенесём всё в правую часть:

$$8x^2+\frac{1}{x}-5-2x(1-x)\ge 0,$$ $$8x^2+\frac{1}{x}-5-2x+2x^2\ge 0,$$ $$10x^2-2x-5+\frac{1}{x}\ge 0.$$

Умножим на $x>0$ (знак не меняется) и приведём к одной дроби:

$$\frac{10x^3-2x^2-5x+1}{x}\ge 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$10x^3-2x^2-5x+1=(5x-1)(2x^2-1).$$

Так как на ОДЗ $x>0\text{,}$ знаменатель положителен, и неравенство сводится к

$$(5x-1)(2x^2-1)\ge 0.$$

Корни множителей: $x=\frac{1}{5}$ и $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ На промежутке $0<x<1$ методом интервалов получаем:

С учётом нестрогого неравенства корни $x=\frac{1}{5}$ и $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ включаются:

$$x\in \left(0;\frac{1}{5}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2};1\right).$$

Проверим третье условие ОДЗ $8x^2+\frac{1}{x}-5>0\text{.}$ На полученном множестве $0<x<1\text{,}$ поэтому $2x(1-x)>0\text{;}$ из самого неравенства $8x^2+\frac{1}{x}-5\ge 2x(1-x)>0\text{,}$ значит это условие выполнено автоматически и не сужает ответ.

Ответ: $x\in \left(0;\frac{1}{5}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2};1\right).$