Решите неравенство: 2_7(sqrt(2)x) - _7((x)/(1-x)) <= _7(8x^2 + (1)/(x) - 5).

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что под знаком каждого логарифма должно стоять положительное выражение: sqrt(2)x > 0, (x)/(1-x) > 0, 8x^2 + (1)/(x) - 5 > 0. Из первых двух условий получаем x>0 и 0<x<1, то есть совместно 0 < x < 1. Третье условие 8x^2+(1)/(x)-5>0 пока учтём отдельно (см. ниже — оно окажется следствием самого неравенства). Преобразуем левую часть. Так как на ОДЗ x>0, верно _7(sqrt(2)x)^2=2_7(sqrt(2)x), поэтому 2_7(sqrt(2)x) - _7((x)/(1-x)) = _7((sqrt(2)x)^2)/((x)/(1-x)) = _7(2x^2(1-x))/(x) = _7(2x(1-x)). Неравенство принимает вид _7(2x(1-x)) <= _7(8x^2 + (1)/(x) - 5). Основание логарифма 7>1, функция _7 t возрастает, поэтому неравенство равносильно (при положительных аргументах) 2x(1-x) <= 8x^2 + (1)/(x) - 5. Перенесём всё в правую часть: 8x^2 + (1)/(x) - 5 - 2x(1-x) >= 0, 8x^2 + (1)/(x) - 5 - 2x + 2x^2 >= 0, 10x^2 - 2x - 5 + (1)/(x) >= 0. Умножим на x>0 (знак не меняется) и приведём к одной дроби: (10x^3 - 2x^2 - 5x + 1)/(x) >= 0. Разложим числитель на множители: 10x^3 - 2x^2 - 5x + 1 = (5x-1)(2x^2-1). Так как на ОДЗ x>0, знаменатель положителен, и неравенство сводится к (5x-1)(2x^2-1) >= 0. Корни множителей: x=(1)/(5) и x=+-(1)/(sqrt(2))=+-(sqrt(2))/(2). На промежутке 0<x<1 методом интервалов получаем: | Промежуток | 5x-1 | 2x^2-1 | произведение | | --- | --- | --- | --- | | (0; (1)/(5)) | - | - | + | | ((1)/(5); (sqrt(2))/(2)) | + | - | - | | ((sqrt(2))/(2); 1) | + | + | + | С учётом нестрогого неравенства корни x=(1)/(5) и x=(sqrt(2))/(2) включаются: x in (0; (1)/(5)] U [(sqrt(2))/(2); 1). Проверим третье условие ОДЗ 8x^2+(1)/(x)-5>0. На полученном множестве 0<x<1, поэтому 2x(1-x)>0; из самого неравенства 8x^2+(1)/(x)-5 >= 2x(1-x) > 0, значит это условие выполнено автоматически и не сужает ответ. Ответ: x in (0; (1)/(5)] U [(sqrt(2))/(2); 1).

\(x \in \left(0;\ \dfrac{1}{5}\right] \cup \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ 1\right)\)