Задача №18401

В прямой треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ основание $ABC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине $B\text{,}$ причём $AB=BC=6\text{,}$ а боковое ребро $A{A}_1=6\text{.}$ На ребре $A{A}_1$ отмечена точка $M$ так, что $AM=2\text{,}$ а на ребре $C{C}_1$ — точка $N$ так, что $CN=1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $MN{B}_1$ делит призму на два многогранника равного объёма.

б) Найдите объём тетраэдра $MNB{B}_1\text{.}$

Объём всей призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot 6=108.$$

а) Плоскость $MN{B}_1$ пересекает боковые рёбра $A{A}_1\text{,}$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ в точках $M\text{,}$ $B_1$ и $N\text{,}$ удалённых от плоскости основания $ABC$ на $AM=2\text{,}$ $B{B}_1=6$ и $CN=1$ соответственно. Часть призмы, заключённая между основанием $ABC$ и секущей плоскостью, — это усечённая призма с основанием $ABC\text{;}$ её объём равен произведению площади основания на среднее арифметическое длин боковых рёбер до сечения:

$$V_1=S_{ABC}\cdot \frac{AM+B{B}_1+CN}{3}=18\cdot \frac{2+6+1}{3}=18\cdot 3=54.$$

Тогда объём второй части равен $V-V_1=108-54=54=V_1\text{.}$ Значит, плоскость $MN{B}_1$ делит призму на два многогранника равного объёма, что и требовалось доказать.

б) Найдём объём тетраэдра $MNB{B}_1\text{,}$ приняв за основание треугольник $B{B}_{1}N\text{,}$ а за вершину — точку $M\text{.}$

Точки $B\text{,}$ $B_1$ и $N$ лежат в плоскости боковой грани $BC{C}_1{B}_1$ (точка $N$ взята на ребре $C{C}_1$ этой грани). Грань $BC{C}_1{B}_1$ — прямоугольник со сторонами $B{B}_1=A{A}_1=6$ и $BC=6\text{.}$ В треугольнике $B{B}_{1}N$ примем за основание ребро $B{B}_1=6\text{;}$ тогда высота — это расстояние от точки $N$ до прямой $B{B}_1\text{,}$ равное $BC=6\text{.}$ Поэтому

$$S_{B{B}_{1}N}=\frac{1}{2}\cdot B{B}_1\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18.$$

Высота тетраэдра, опущенная из вершины $M\text{,}$ равна расстоянию от $M$ до плоскости грани $BC{C}_1{B}_1\text{.}$ Так как угол $ABC$ прямой, ребро $AB$ перпендикулярно $BC\text{;}$ кроме того, в прямой призме $AB\perp B{B}_1\text{.}$ Значит, $AB$ перпендикулярно плоскости $BC{C}_1{B}_1\text{,}$ и расстояние от точки $A$ до этой плоскости равно $AB=6\text{.}$ Ребро $A{A}_1$ параллельно $B{B}_1\text{,}$ лежащему в плоскости грани, поэтому $A{A}_1$ параллельно этой плоскости, и любая его точка (в частности $M$) удалена от неё на то же расстояние $AB=6\text{.}$

Следовательно,

$$V_{MNB{B}_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{B{B}_{1}N}\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 6=36.$$

Ответ: $36\text{.}$