В прямой треугольной призме ABCA_1B_1C_1 основание ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине B, причём AB = BC = 6, а боковое ребро AA_1 = 6. На ребре AA_1 отмечена точка M так, что AM = 2, а на ребре CC_1 — точка N так, что CN = 1. а) Докажите, что плоскость MNB_1 делит призму на два многогранника равного объёма. б) Найдите объём тетраэдра MNBB_1.

Объём всей призмы равен V = S_(ABC)* AA_1 = (1)/(2)* 6* 6* 6 = 108. а) Плоскость MNB_1 пересекает боковые рёбра AA_1, BB_1 и CC_1 в точках M, B_1 и N, удалённых от плоскости основания ABC на AM = 2, BB_1 = 6 и CN = 1 соответственно. Часть призмы, заключённая между основанием ABC и секущей плоскостью, — это усечённая призма с основанием ABC; её объём равен произведению площади основания на среднее арифметическое длин боковых рёбер до сечения: V_1 = S_(ABC)*(AM + BB_1 + CN)/(3) = 18*(2 + 6 + 1)/(3) = 18* 3 = 54. Тогда объём второй части равен V - V_1 = 108 - 54 = 54 = V_1. Значит, плоскость MNB_1 делит призму на два многогранника равного объёма, что и требовалось доказать. б) Найдём объём тетраэдра MNBB_1, приняв за основание треугольник BB_1N, а за вершину — точку M. Точки B, B_1 и N лежат в плоскости боковой грани BCC_1B_1 (точка N взята на ребре CC_1 этой грани). Грань BCC_1B_1 — прямоугольник со сторонами BB_1 = AA_1 = 6 и BC = 6. В треугольнике BB_1N примем за основание ребро BB_1 = 6; тогда высота — это расстояние от точки N до прямой BB_1, равное BC = 6. Поэтому S_(BB_1N) = (1)/(2)* BB_1* BC = (1)/(2)* 6* 6 = 18. Высота тетраэдра, опущенная из вершины M, равна расстоянию от M до плоскости грани BCC_1B_1. Так как угол ABC прямой, ребро AB перпендикулярно BC; кроме того, в прямой призме AB BB_1. Значит, AB перпендикулярно плоскости BCC_1B_1, и расстояние от точки A до этой плоскости равно AB = 6. Ребро AA_1 параллельно BB_1, лежащему в плоскости грани, поэтому AA_1 параллельно этой плоскости, и любая его точка (в частности M) удалена от неё на то же расстояние AB = 6. Следовательно, V_(MNBB_1) = (1)/(3)* S_(BB_1N)* AB = (1)/(3)* 18* 6 = 36. Ответ: 36.

а) Доказано: плоскость \(MNB_1\) делит призму на две части объёма по \(54\); б) \(V_{MNBB_1} = 36\).