а) Решите уравнение 7^(2cos x) = 49^(sin 2x). б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [pi; (5pi)/(2)].

а) Так как 49 = 7^2, то 49^(sin 2x) = 7^(2sin 2x). Уравнение принимает вид 7^(2cos x) = 7^(2sin 2x), что равносильно равенству показателей: 2cos x = 2sin 2x cos x = sin 2x. Воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2x = 2sin xcos x: cos x = 2sin xcos x cos x(1 - 2sin x) = 0. Отсюда cos x = 0 или sin x = (1)/(2). Если cos x = 0, то x = (pi)/(2) + pi k, kinZ. Если sin x = (1)/(2), то x = (pi)/(6) + 2pi k или x = (5pi)/(6) + 2pi k, kinZ. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [pi; (5pi)/(2)]. Из серии x = (pi)/(2) + pi k: при k = 1 получаем (3pi)/(2), при k = 2 получаем (5pi)/(2). Из серии x = (pi)/(6) + 2pi k: при k = 1 получаем (13pi)/(6). Из серии x = (5pi)/(6) + 2pi k: ни один корень в отрезок не попадает. Таким образом, на отрезке [pi; (5pi)/(2)] лежат корни (3pi)/(2); (13pi)/(6); (5pi)/(2).

а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\); б) \(\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{13\pi}{6};\ \dfrac{5\pi}{2}\).