Задача №18400

а) Решите уравнение $7^{2\cos x}=49^{\sin 2x}\text{.}$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Так как $49=7^2\text{,}$ то $49^{\sin 2x}=7^{2\sin 2x}\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$7^{2\cos x}=7^{2\sin 2x},$$

что равносильно равенству показателей:

$$2\cos x=2\sin 2x⟺\cos x=\sin 2x.$$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$\cos x=2\sin x\cos x⟺\cos x(1-2\sin x)=0.$$

Отсюда $\cos x=0$ или $\sin x=\frac{1}{2}\text{.}$

Если $\cos x=0\text{,}$ то $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Если $\sin x=\frac{1}{2}\text{,}$ то $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $\frac{3\pi }{2}\text{,}$ при $k=2$ получаем $\frac{5\pi }{2}\text{.}$

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $\frac{13\pi }{6}\text{.}$

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ ни один корень в отрезок не попадает.

Таким образом, на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ лежат корни $\frac{3\pi }{2};\frac{13\pi }{6};\frac{5\pi }{2}\text{.}$