Задача №18397

1 июля 2026 года планируется открыть вклад в банке на 3 года. 30 июня каждого года сумма на счете увеличивается на $25\%$ по сравнению с суммой, находящейся на вкладе 29 июня этого же года. 1 июля 2027, 2028 и 2029 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. После третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей.

Сколько рублей сняли со вклада за все 3 года, если эта величина превышает изначальный вклад на 393 000 рублей?

Пусть $A$ рублей — исходная сумма вклада.

По этому, каждый год со вклада снимают одну и ту же сумму, всего было снято $A+393000$ рублей, следует, что снимали каждый раз $x=\frac{A+393000}{3}$ рублей.

Составим таблицу:

$$\begin{array}{cccc}\text{Год}& \text{Размер вклада до начисления \%}& \text{Размер вклада после начисления \%}& \text{Размер вклада после снятия}\\ 2027& A& \frac{5}{4}A& \frac{5}{4}A-x\\ 2028& \frac{5}{4}A-x& \frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}A-x\right)& \frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}A-x\right)-x\\ 2029& \frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}A-x\right)-x& \frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}A-x\right)-x\right)& \frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}A-x\right)-x\right)-x\end{array}$$

Из таблицы следует, что после третьего снятия на вкладе остается сумма в рублях, равная

$$\frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}A-x\right)-x\right)-x={\left(\frac{5}{4}\right)}^{3}A-{\left(\frac{5}{4}\right)}^{2}x-\frac{5}{4}x-x.$$

По условию после третьего снятия на вкладе остается 0 рублей. Составим уравнение:

$${\left(\frac{5}{4}\right)}^{3}A-{\left(\frac{5}{4}\right)}^{2}x-\frac{5}{4}x-x=0$$ $${\left(\frac{5}{4}\right)}^{3}A=x\left({\left(\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{5}{4}+1\right).$$

Из полученного уравнения выразим $x$ и подставим значение $x=\frac{A+393000}{3}\text{:}$

$$x=\frac{{\left(\frac{5}{4}\right)}^{3}A}{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{5}{4}+1}$$ $$\frac{A+393000}{3}=\frac{\frac{125}{64}A}{\frac{25}{16}+\frac{5}{4}+1}$$ $$\frac{A+393000}{3}=\frac{\frac{125}{64}A}{\frac{61}{16}}$$ $$\frac{A+393000}{3}=\frac{125}{64}\cdot \frac{16}{61}A$$ $$\frac{A+393000}{3}=\frac{125}{244}A$$ $$A+393000=\frac{375}{244}A$$ $$393000=\frac{375}{244}A-A$$ $$393000=\frac{131}{244}A$$ $$A=\frac{393000\cdot 244}{131}=3000\cdot 244=732000.$$

Тогда сумма в рублях, снятая со вклада за 3 года, равна $A+393000=1125000\text{.}$