Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |1 - 3sqrt(x)| = x + a имеет два различных корня.

Ответ: a in -(1)/(9) U (1; (5)/(4)]. Пусть f(x) = |1 - 3sqrt(x)|, g(x) = x + a. Заметим, что функция g(x) задаёт семейство параллельных прямых, которые двигаются вверх или вниз в зависимости от параметра a. Рассмотрим функцию f(x) = |1 - 3sqrt(x)|, которая определена при x 0. Найдём нули подмодульного выражения: 1 - 3sqrt(x) = 0 sqrt(x) = (1)/(3) x = (1)/(9) Раскроем модуль по определению: f(x) = cases 1 - 3sqrt(x), x < (1)/(9) 3sqrt(x) - 1, x (1)/(9) cases То есть при x in [0; (1)/(9)) функция f(x) задаёт убывающий график корня, который имеет вершину в точке (0; 1), а при x (1)/(9) функция f(x) задаёт возрастающий график корня, который имеет вершину в точке (0; -1). Изобразим получившийся график. Рассмотрим три различных случая пересечения графиков. • Прямая проходит через точку с координатами ((1)/(9); 0). Данное положение достигается, когда g((1)/(9)) = 0: g((1)/(9)) = (1)/(9) + a = 0 a = -(1)/(9) • Прямая касается возрастающей ветви корня, которая имеет уравнение: f(x) = 3sqrt(x) - 1. Найдём значение параметра a, при котором происходит данное положение, то есть значение параметра, при котором прямая, имеющая уравнение y = x + a, касается графика y = 3sqrt(x) - 1. Для этого приравняем правые части и потребуем единственность решения у получившегося квадратного уравнения: x + a = 3sqrt(x) - 1 (x + a + 1)^2 = (3sqrt(x))^2 x^2 + x(2a - 7) + a^2 + 2a + 1 = 0 D = (2a - 7)^2 - 4(a^2 + 2a + 1) = 0 D = -36a + 45 = 0 a = (45)/(36) = (5)/(4) • Прямая проходит через вершину убывающего корня, которая имеет координаты (0; 1). Данное положение достигается, когда g(0) = 1: g(0) = 0 + a = 1 a = 1 Значит, прямая сначала проходит через точку с координатами ((1)/(9); 0), потом через точку с координатами (0; 1), после чего прямая касается графика корня. То есть имеем следующие граничные положения: • Случай I. Прямая проходит через точку с координатами ((1)/(9); 0). В данном положении имеем две точки пересечения. До случая I графики пересекаются в одной точке. • Случай II. Прямая проходит через точку с координатами (0; 1). В данном положении графики имеют три общие точки. Между случаями I и II получаем три точки пересечения. • Случай III. Прямая касается возрастающего графика корня. В данном положении имеем одну точку пересечения. Между случаями II и III имеем две точки пересечения. После положения III графики не пересекаются. Значит, нам подходят следующие значения параметра a: a in I U (II; III) Таким образом, исходное уравнение имеет два корня при a in -(1)/(9) U (1; (5)/(4)].