Задача №18396

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\left|1-3\sqrt{x}\right|=x+a$$

имеет два различных корня.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{9}\right\}\cup \left(1;\frac{5}{4}\right]\text{.}$

Пусть $f(x)=\left|1-3\sqrt{x}\right|\text{,}$ $g(x)=x+a\text{.}$ Заметим, что функция $g(x)$ задаёт семейство параллельных прямых, которые двигаются вверх или вниз в зависимости от параметра $a\text{.}$

Рассмотрим функцию $f(x)=\left|1-3\sqrt{x}\right|\text{,}$ которая определена при $x⩾0\text{.}$ Найдём нули подмодульного выражения:

$$1-3\sqrt{x}=0$$ $$\sqrt{x}=\frac{1}{3}$$ $$x=\frac{1}{9}$$

Раскроем модуль по определению:

$$f(x)=\{\begin{array}{l}1-3\sqrt{x},x<\frac{1}{9}\\ 3\sqrt{x}-1,x⩾\frac{1}{9}\end{array}$$

То есть при $x\in \left[0;\frac{1}{9}\right)$ функция $f(x)$ задаёт убывающий график корня, который имеет вершину в точке $(0;1)\text{,}$ а при $x⩾\frac{1}{9}$ функция $f(x)$ задаёт возрастающий график корня, который имеет вершину в точке $(0;-1)\text{.}$ Изобразим получившийся график.

Рассмотрим три различных случая пересечения графиков.

• Прямая проходит через точку с координатами $\left(\frac{1}{9};0\right)\text{.}$ Данное положение достигается, когда $g\left(\frac{1}{9}\right)=0\text{:}$

$$g\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{9}+a=0$$ $$a=-\frac{1}{9}$$

• Прямая касается возрастающей ветви корня, которая имеет уравнение: $f(x)=3\sqrt{x}-1\text{.}$ Найдём значение параметра $a\text{,}$ при котором происходит данное положение, то есть значение параметра, при котором прямая, имеющая уравнение $y=x+a\text{,}$ касается графика $y=3\sqrt{x}-1\text{.}$ Для этого приравняем правые части и потребуем единственность решения у получившегося квадратного уравнения:

$$x+a=3\sqrt{x}-1$$ $$(x+a+1{)}^2={\left(3\sqrt{x}\right)}^2$$ $$x^2+x(2a-7)+a^2+2a+1=0$$ $$D=(2a-7{)}^2-4\left(a^2+2a+1\right)=0$$ $$D=-36a+45=0$$ $$a=\frac{45}{36}=\frac{5}{4}$$

• Прямая проходит через вершину убывающего корня, которая имеет координаты $(0;1)\text{.}$ Данное положение достигается, когда $g(0)=1\text{:}$

$$g(0)=0+a=1$$ $$a=1$$

Значит, прямая сначала проходит через точку с координатами $\left(\frac{1}{9};0\right)\text{,}$ потом через точку с координатами $(0;1)\text{,}$ после чего прямая касается графика корня. То есть имеем следующие граничные положения:

• Случай I. Прямая проходит через точку с координатами $\left(\frac{1}{9};0\right)\text{.}$ В данном положении имеем две точки пересечения. До случая I графики пересекаются в одной точке.

• Случай II. Прямая проходит через точку с координатами $(0;1)\text{.}$ В данном положении графики имеют три общие точки. Между случаями I и II получаем три точки пересечения.

• Случай III. Прямая касается возрастающего графика корня. В данном положении имеем одну точку пересечения. Между случаями II и III имеем две точки пересечения. После положения III графики не пересекаются.

Значит, нам подходят следующие значения параметра $a\text{:}$

$$a\in \{I\}\cup (II;III)$$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня при

$$a\in \left\{-\frac{1}{9}\right\}\cup \left(1;\frac{5}{4}\right].$$