Задача №18394

а) Решите уравнение ${\left(\frac{1}{36}\right)}^{\sin x}=6^{2\sin 2x}\text{.}$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Данное уравнение равносильно

$$(6^{-2}{)}^{\sin x}=6^{2\sin 2x}$$ $$6^{-2\sin x}=6^{2\sin 2x}$$ $$-2\sin x=2\sin 2x$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ следовательно,

$$4\sin x\cos x+2\sin x=0$$ $$2\sin x(2\cos x+1)=0$$ $$[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Первое уравнение совокупности имеет решения $x=\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Второе уравнение совокупности имеет решения $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]$ лежат точки $-\frac{10\pi }{3};-3\pi ;-\frac{8\pi }{3}\text{.}$