Задача №18392

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{1-2x}=a-7|x|$$

имеет больше двух корней.

Пусть $f(x)=\sqrt{1-2x}\text{,}$ $g(x)=a-7|x|\text{.}$

Заметим, что функция $f(x)$ в осях $xOy$ задаёт график убывающего корня, который имеет вершину в точке $\left(\frac{1}{2};0\right)\text{.}$ При этом данный график будет неподвижным. Нарисуем график корня, для этого найдём точку его пересечения с осью $y\text{:}$

$$f(0)=\sqrt{1-2\cdot 0}=1.$$

Заметим, что функция $g(x)=a-7|x|$ в осях $xOy$ задаёт график «галочки», который движется вверх или вниз в зависимости от параметра $a\text{.}$ Данный график будет иметь вершину в точке $(0;a)\text{.}$

Тогда для того, чтобы уравнение имело больше двух корней, необходимо, чтобы графики имели более двух общих точек. Рассмотрим три различных случая пересечения графиков.

• График модуля проходит через вершину графика корня $f(x)\text{,}$ то есть через точку $\left(\frac{1}{2};0\right)\text{.}$ Данное положение достигается, когда $g\left(\frac{1}{2}\right)=0\text{:}$

$$g\left(\frac{1}{2}\right)=a-7\cdot \frac{1}{2}=0$$ $$a=\frac{7}{2}.$$

• График модуля проходит через точку с координатами $(0;1)\text{.}$ Данное положение достигается, когда вершина $(0;a)$ совпадает с точкой $(0;1)\text{,}$ то есть при $a=1\text{.}$

• Правая ветвь графика модуля касается графика корня. Найдём значение параметра $a\text{,}$ при котором происходит данное положение, то есть значение параметра, при котором прямая при $x\ge 0\text{,}$ имеющая уравнение $y=a-7x\text{,}$ касается графика $y=\sqrt{1-2x}\text{.}$ Для этого приравняем правые части и потребуем единственность решения у получившегося квадратного уравнения:

$$a-7x=\sqrt{1-2x}$$ $$(a-7x{)}^2=1-2x$$ $$a^2-14ax+49x^2=1-2x$$ $$49x^2-x(14a-2)+a^2-1=0$$ $$D=(14a-2{)}^2-4\cdot 49\cdot (a^2-1)=0$$ $$D=196a^2-56a+4-196a^2+196=0$$ $$D=-56a+200=0$$ $$a=\frac{200}{56}=\frac{25}{7}.$$

Значит, «галочка» сначала проходит через точку с координатами $(1;0)\text{,}$ потом через точку с координатами $\left(\frac{1}{2};0\right)\text{,}$ после чего правая ветвь касается графика корня.

Тогда ничего следующие граничные положения:

• Случай I. График модуля проходит через точку с координатами $(0;1)\text{.}$ В данном положении графики имеют одну общую точку. До случая I графики не пересекаются.

• Случай II. График модуля проходит через вершину графика $f(x)\text{.}$ В данном положении имеем три точки пересечения. Между случаями I и II имеем две точки пересечения.

• Случай III. Правая ветвь графика модуля касается графика корня. В данном положении имеем две точки пересечения. Между случаями II и III имеем три точки пересечения. После положения III имеем одну точку пересечения.

Значит, нам подходят следующие значения параметра $a\text{:}$

$$a\in [\text{II};\text{III}).$$

Таким образом, исходное уравнение имеет больше двух корней при

$$a\in \left[\frac{7}{2};\frac{25}{7}\right).$$