Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(1-2x)=a-7|x| имеет больше двух корней.

Пусть f(x)=sqrt(1-2x), g(x)=a-7|x|. Заметим, что функция f(x) в осях xOy задаёт график убывающего корня, который имеет вершину в точке ((1)/(2);0). При этом данный график будет неподвижным. Нарисуем график корня, для этого найдём точку его пересечения с осью y: f(0)=sqrt(1-2* 0)=1. Заметим, что функция g(x)=a-7|x| в осях xOy задаёт график «галочки», который движется вверх или вниз в зависимости от параметра a. Данный график будет иметь вершину в точке (0;a). Тогда для того, чтобы уравнение имело больше двух корней, необходимо, чтобы графики имели более двух общих точек. Рассмотрим три различных случая пересечения графиков. • График модуля проходит через вершину графика корня f(x), то есть через точку ((1)/(2);0). Данное положение достигается, когда g((1)/(2))=0: g((1)/(2))=a-7*(1)/(2)=0 a=(7)/(2). • График модуля проходит через точку с координатами (0;1). Данное положение достигается, когда вершина (0;a) совпадает с точкой (0;1), то есть при a=1. • Правая ветвь графика модуля касается графика корня. Найдём значение параметра a, при котором происходит данное положение, то есть значение параметра, при котором прямая при x>= 0, имеющая уравнение y=a-7x, касается графика y=sqrt(1-2x). Для этого приравняем правые части и потребуем единственность решения у получившегося квадратного уравнения: a-7x=sqrt(1-2x) (a-7x)^2=1-2x a^2-14ax+49x^2=1-2x 49x^2-x(14a-2)+a^2-1=0 D=(14a-2)^2-4* 49*(a^2-1)=0 D=196a^2-56a+4-196a^2+196=0 D=-56a+200=0 a=(200)/(56)=(25)/(7). Значит, «галочка» сначала проходит через точку с координатами (1;0), потом через точку с координатами ((1)/(2);0), после чего правая ветвь касается графика корня. Тогда ничего следующие граничные положения: • Случай I. График модуля проходит через точку с координатами (0;1). В данном положении графики имеют одну общую точку. До случая I графики не пересекаются. • Случай II. График модуля проходит через вершину графика f(x). В данном положении имеем три точки пересечения. Между случаями I и II имеем две точки пересечения. • Случай III. Правая ветвь графика модуля касается графика корня. В данном положении имеем две точки пересечения. Между случаями II и III имеем три точки пересечения. После положения III имеем одну точку пересечения. Значит, нам подходят следующие значения параметра a: ain[II;III). Таким образом, исходное уравнение имеет больше двух корней при ain[(7)/(2); (25)/(7)).

\(a \in \left[\dfrac{7}{2};\ \dfrac{25}{7}\right)\)