Задача №18391

а) Решите уравнение ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{\sin x}=9^{2\sin 2x}\text{.}$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Данное уравнение равносильно

$${\left(9^{-2}\right)}^{\sin x}=9^{2\sin 2x},$$ $$9^{-2\sin x}=9^{2\sin 2x},$$ $$-2\sin x=2\sin 2x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ следовательно,

$$-2\sin x-4\sin x\cos x=0,$$ $$2\sin x(1+2\cos x)=0,$$ $$[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Первое уравнение совокупности имеет решения $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Второе уравнение совокупности имеет решения $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ лежат точки $-2\pi ;-\frac{4\pi }{3};-\pi ;-\frac{2\pi }{3}\text{.}$